help_outlineУсловие задачи
1. Какая из формул неверна для треугольника со сторонами а, в, с, углами
а. В. у, и площадью 57
A) a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cosa;
C) S = 1/2 * ab * sin gamma
B) a/(sin alpha) = b/(sin beta) = c/(sin gamma)
D) S = 1/2 * a sina.
2. Найдите неверную формулу:
A) sina+cos'a=1;
B) sin(180' - alpha) = sin alpha
C) cos(180^ * - alpha )=cos alpha;
D) sin(90^ * - alpha )=cos alpha
3. С помощью утверждения можно найти углы треугольника, если
известны три его стороны? А) Теорема синусов;
С) Теорема Фалеса; 4. Один из углов треугольника
В) Теорема косинусов;
D) Формула Герона.
равен 137 ^ * а второй 15°. Известно, что большая сторона этого треугольника равна 22. Найдите меньшую
A) 8,3;
сторону.
B) 9.3;
C) 3,8;
D) 6,5.
5. Угод между сторонами треугольника, равными 14 и 19 равен 26. Найдите третью сторону треугольника.
A) 1,2;
B) 5,4:
C) 6,9;
D) 19,7.
6. Если длины двух векторов а и Б равны | overline a |=2 | overline b |=5 а угол между ними равен 45°, найдите скалярное произведение этих векторов.
A) 52;
B) 32
C) 102;
D) 2.
7. Чему равно скалярное произведение векторов overline a(4; - 1) и b(2; 3) ?
A) 5;
B) 3;
C) 4;
D ) .
16.1
8. Найдите угол между векторами
A) 30";
B) 60";
90" ;
overline a(- 1/2, (sqrt(3))/2) H overline b(sqrt(3); 1)
D) 45.
17.
9. Отношение углов треугольника равно 3:2:1. Найти отношение сторон.
10. Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника
A) 3:2:1;
B) 1:2:3:
C) 2:43:1;
D) 13:12:1.
со стороной 3 см.
A) sqrt(3) B) B (sqrt(3))/3
C) 2sqrt(3)
D (sqrt(3))/2
lightbulbКраткий ответ
Найдите неверные формулы и получите пояснение, почему они неверны. Решения задач по геометрии с теоремами косинусов и вычислением площади.
Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в школьную тетрадь.
Задание 1.
Какая из формул неверна для треугольника?
Ответ: D.
Пояснение: Формула площади треугольника через сторону и синус угла выглядит иначе. Правильная формула:
\[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]
Вариант D \( S = \frac{1}{2} a \sin \alpha \) не имеет смысла с точки зрения размерности и геометрии.
Задание 2.
Найдите неверную формулу.
Ответ: C.
Пояснение: По формулам приведения:
\[ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \]
В варианте C пропущен знак «минус».
Задание 3.
С помощью какого утверждения можно найти углы треугольника, если известны три его стороны?
Ответ: B.
Пояснение: Теорема косинусов позволяет выразить косинус любого угла через три стороны треугольника:
\[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
Задание 4.
Дано: \(\alpha = 137^\circ\), \(\beta = 15^\circ\), большая сторона \(a = 22\). Найти меньшую сторону.
Решение:
1. Найдем третий угол:
\[ \gamma = 180^\circ - (137^\circ + 15^\circ) = 28^\circ \]
2. Меньшая сторона лежит против меньшего угла (\(\beta = 15^\circ\)). По теореме синусов:
\[ \frac{b}{\sin 15^\circ} = \frac{22}{\sin 137^\circ} \]
\[ b = \frac{22 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 137^\circ} \approx \frac{22 \cdot 0,2588}{0,682} \approx 8,34 \]
Ответ: A (8,3).
Задание 5.
Дано: \(a = 14\), \(b = 19\), \(\gamma = 26^\circ\). Найти \(c\).
Решение по теореме косинусов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
\[ c^2 = 14^2 + 19^2 - 2 \cdot 14 \cdot 19 \cdot \cos 26^\circ \]
\[ c^2 = 196 + 361 - 532 \cdot 0,8988 \approx 557 - 478,16 = 78,84 \]
\[ c = \sqrt{78,84} \approx 8,88 \]
Примечание: Среди предложенных вариантов точного ответа нет, наиболее близкий по порядку величины вариант C (6,9) или D (19,7) не подходят. Вероятно, в условии опечатка в значениях углов или сторон. Если выбирать из предложенных, задача требует перепроверки условий.
Задание 6.
Дано: \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 5\), \(\angle = 45^\circ\). Найти скалярное произведение.
Решение:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 45^\circ \]
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \]
Ответ: В условии опечатка в записи вариантов (вместо корня написано число 2 рядом). Правильный ответ \( 5\sqrt{2} \).
Задание 7.
Найти скалярное произведение векторов \(\vec{a}(4; -1)\) и \(\vec{b}(2; 3)\).
Решение:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 8 - 3 = 5 \]
Ответ: A.
Задание 8.
Найти угол между векторами \(\vec{a}(-1/2; \sqrt{3}/2)\) и \(\vec{b}(\sqrt{3}; 1)\).
Решение:
1. Скалярное произведение:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 0 \]
2. Если скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны.
Ответ: C (90°).
Задание 9.
Отношение углов 3:2:1. Найти отношение сторон.
Решение:
1. Углы: \(3x + 2x + 1x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ\).
2. Углы равны: \(90^\circ, 60^\circ, 30^\circ\).
3. Отношение сторон по теореме синусов:
\[ \sin 90^\circ : \sin 60^\circ : \sin 30^\circ = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = 2 : \sqrt{3} : 1 \]
Ответ: C.
Задание 10.
Найти радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной \(a = 3\).
Решение:
\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]
Ответ: A.
