Решение задачи по геометрии: Найдите неверную формулу

Ниже представлено подробное решение всех задач с пояснениями, формулами и ходом рассуждений, оформленное специально для записи в школьную тетрадь. \[ \] **Задание 1** Для произвольного треугольника со сторонами \(a, b, c\) и углами \(\alpha, \beta, \gamma\) справедливы следующие формулы: 1) Теорема косинусов: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\) (Вариант А — верен). 2) Теорема синусов: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\) (Вариант B — верен). 3) Площадь через две стороны и угол между ними: \(S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma\) (Вариант C — верен). 4) Вариант D предлагает формулу \(S = \frac{1}{2} a \sin \alpha\). Эта формула неверна, так как в ней не соблюдена размерность (площадь должна измеряться в квадратных единицах, т.е. содержать произведение двух линейных размеров). **Ответ: D** \[ \] **Задание 2** Проверим тригонометрические тождества и формулы приведения: A) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) — основное тождество (верно). B) \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\) — формула приведения для синуса (верно). C) \(\cos(180^\circ - \alpha) = \cos \alpha\) — **неверно**. Согласно формулам приведения, во второй четверти косинус отрицателен, поэтому: \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). D) \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\) — формула приведения (верно). **Ответ: C** \[ \] **Задание 3** Чтобы найти углы треугольника, зная три его стороны, используется теорема косинусов. Из неё можно выразить косинус любого угла: \[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Зная косинус, можно найти сам угол с помощью таблиц или функции арккосинуса. **Ответ: B** \[ \] **Задание 4** Дано: \(\alpha = 137^\circ\), \(\beta = 15^\circ\), большая сторона \(a = 22\). Найти: меньшую сторону. Решение: 1) Найдем третий угол треугольника: \[ \gamma = 180^\circ - (137^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ \] 2) В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. Самый маленький угол — это \(\beta = 15^\circ\), значит, искать нужно сторону \(b\). 3) По теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} \] \[ b = \frac{22 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 137^\circ} \] Используя значения \(\sin 15^\circ \approx 0,2588\) и \(\sin 137^\circ = \sin(180^\circ - 43^\circ) \approx 0,682\): \[ b = \frac{22 \cdot 0,2588}{0,682} \approx \frac{5,6936}{0,682} \approx 8,34 \] **Ответ: A** \[ \] **Задание 5** Дано: \(a = 14\), \(b = 19\), угол между ними \(\gamma = 26^\circ\). Найти: сторону \(c\). Решение по теореме косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \] \[ c^2 = 14^2 + 19^2 - 2 \cdot 14 \cdot 19 \cdot \cos 26^\circ \] \[ c^2 = 196 + 361 - 532 \cdot 0,8988 \] \[ c^2 = 557 - 478,16 = 78,84 \] \[ c = \sqrt{78,84} \approx 8,88 \] Примечание: В предложенных вариантах (A, B, C, D) нет числа 8,9. Вероятно, в условии теста допущена опечатка в исходных данных. \[ \] **Задание 6** Дано: \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 5\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\). Найти: \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Решение: Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 45^\circ \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \] В вариантах ответов символ корня часто отображается некорректно. Ответ \(5\sqrt{2}\) соответствует логике задачи. **Ответ: C (подразумевая \(5\sqrt{2}\))** \[ \] **Задание 7** Дано: \(\vec{a}(4; -1)\), \(\vec{b}(2; 3)\). Найти: \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Решение: Скалярное произведение в координатах вычисляется как сумма произведений соответствующих координат: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 8 - 3 = 5 \] **Ответ: A** \[ \] **Задание 8** Дано: \(\vec{a}(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})\), \(\vec{b}(\sqrt{3}; 1)\). Найти: угол между векторами. Решение: 1) Найдем скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \] 2) Если скалярное произведение векторов равно нулю, то угол между ними составляет \(90^\circ\). **Ответ: C** \[ \] **Задание 9** Дано: \(\alpha : \beta : \gamma = 3 : 2 : 1\). Найти: \(a : b : c\). Решение: 1) Сумма углов треугольника \(180^\circ\). Пусть \(x\) — одна часть. \[ 3x + 2x + x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ \] Углы равны: \(\alpha = 90^\circ, \beta = 60^\circ, \gamma = 30^\circ\). 2) По теореме синусов стороны относятся как синусы противолежащих углов: \[ a : b : c = \sin 90^\circ : \sin 60^\circ : \sin 30^\circ \] \[ a : b : c = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} \] Умножим все части на 2: \[ a : b : c = 2 : \sqrt{3} : 1 \] **Ответ: C** \[ \] **Задание 10** Дано: правильный треугольник, сторона \(a = 3\) см. Найти: \(R\) (радиус описанной окружности). Решение: Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Подставим значение: \[ R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \] **Ответ: A**