Решение задачи № 14, вариант 3.
Дано:
Угловая скорость кривошипа \( \omega_{OA} = 2 \, 1/с \)
Радиус диска \( r = 20 \, см \)
Длины звеньев: \( OA = OB = AC = 40 \, см \)
Угол \( \phi = 60^\circ \)
Определить скорости точек \( B \), \( C \) шатуна и точек \( D \), \( E \) диска.
1. Определение скорости точки A
Кривошип \( OA \) вращается вокруг точки \( O \) с постоянной угловой скоростью \( \omega_{OA} \).
Скорость точки \( A \) определяется по формуле:
\[ V_A = \omega_{OA} \cdot OA \]
Подставляем значения:
\[ V_A = 2 \, 1/с \cdot 40 \, см = 80 \, см/с \]
Направление скорости \( V_A \) перпендикулярно \( OA \) и направлено по вращению \( \omega_{OA} \).
2. Определение скоростей точек B и C шатуна BC
Шатун \( BC \) совершает плоское движение. Для определения скоростей точек \( B \) и \( C \) воспользуемся методом мгновенного центра скоростей (МЦС) или методом проекций.
Метод проекций
Рассмотрим шатун \( ABC \). Точка \( A \) принадлежит кривошипу \( OA \) и шатуну \( ABC \). Точка \( B \) движется по вертикальной направляющей. Точка \( C \) является центром диска, который катится без скольжения по горизонтальной прямой.
Из рисунка видно, что \( OA = OB = AC = 40 \, см \).
Рассмотрим треугольник \( OAC \).
Координаты точки \( O \) примем за \( (0, 0) \).
Координаты точки \( A \):
\[ x_A = OA \cos \phi = 40 \cos 60^\circ = 40 \cdot 0.5 = 20 \, см \]
\[ y_A = OA \sin \phi = 40 \sin 60^\circ = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \approx 34.64 \, см \]
Скорость точки \( A \) имеет компоненты:
\[ V_{Ax} = -V_A \sin \phi = -80 \sin 60^\circ = -80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -40\sqrt{3} \approx -69.28 \, см/с \]
\[ V_{Ay} = V_A \cos \phi = 80 \cos 60^\circ = 80 \cdot 0.5 = 40 \, см/с \]
Точка \( B \) движется по вертикали, поэтому \( V_{Bx} = 0 \).
Точка \( C \) является центром диска, который катится без скольжения. Скорость центра катящегося диска равна \( V_C = \omega_{диска} \cdot r \). Направление скорости \( V_C \) горизонтально.
Рассмотрим шатун \( ABC \).
Для определения скоростей точек \( B \) и \( C \) нам нужно знать угловую скорость шатуна \( \omega_{ABC} \).
Скорость точки \( B \) относительно \( A \):
\[ \vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\omega}_{ABC} \times \vec{r}_{AB} \]
Скорость точки \( C \) относительно \( A \):
\[ \vec{V}_C = \vec{V}_A + \vec{\omega}_{ABC} \times \vec{r}_{AC} \]
Из геометрии механизма:
Длина \( AC = 40 \, см \).
Длина \( OB = 40 \, см \).
Поскольку \( OB \) - это расстояние от \( O \) до точки \( B \) на вертикальной направляющей, то \( y_B = OB \).
Однако, \( OB \) в данном случае - это длина звена, а не координата.
Из рисунка видно, что \( B \) находится на вертикальной линии, проходящей через \( O \).
Длина \( AB \) неизвестна.
Давайте используем метод МЦС для шатуна \( ABC \).
Для шатуна \( ABC \), точка \( B \) движется по вертикали, а точка \( C \) движется по горизонтали (как центр катящегося диска).
Мгновенный центр скоростей \( P_{BC} \) для шатуна \( BC \) находится на пересечении перпендикуляров к скоростям точек \( B \) и \( C \).
Перпендикуляр к \( V_B \) (вертикальной) - горизонтальная линия, проходящая через \( B \).
Перпендикуляр к \( V_C \) (горизонтальной) - вертикальная линия, проходящая через \( C \).
Таким образом, МЦС \( P_{BC} \) находится на пересечении горизонтальной линии, проходящей через \( B \), и вертикальной линии, проходящей через \( C \).
Найдем координаты точек \( B \) и \( C \).
Для точки \( B \):
Из треугольника \( OAB \), где \( OA = OB = 40 \, см \).
Угол \( \angle AOB \) неизвестен.
Однако, точка \( B \) движется по вертикальной направляющей, проходящей через \( O \).
Это означает, что \( x_B = 0 \).
Длина \( AB \) может быть найдена из треугольника \( OAB \).
Координаты \( A \): \( (20, 20\sqrt{3}) \).
Координаты \( B \): \( (0, y_B) \).
Длина \( AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} = \sqrt{(20 - 0)^2 + (20\sqrt{3} - y_B)^2} = 40 \).
\( 400 + (20\sqrt{3} - y_B)^2 = 1600 \)
\( (20\sqrt{3} - y_B)^2 = 1200 \)
\( 20\sqrt{3} - y_B = \pm \sqrt{1200} = \pm 20\sqrt{3} \)
Если \( 20\sqrt{3} - y_B = 20\sqrt{3} \), то \( y_B = 0 \). Это не соответствует рисунку.
Если \( 20\sqrt{3} - y_B = -20\sqrt{3} \), то \( y_B = 40\sqrt{3} \approx 69.28 \, см \).
Итак, координаты точки \( B \): \( (0, 40\sqrt{3}) \).
Для точки \( C \):
Длина \( AC = 40 \, см \).
Координаты \( A \): \( (20, 20\sqrt{3}) \).
Координаты \( C \): \( (x_C, r) = (x_C, 20) \).
\( AC = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = 40 \).
\( (20 - x_C)^2 + (20\sqrt{3} - 20)^2 = 1600 \)
\( (20 - x_C)^2 + (20(\sqrt{3} - 1))^2 = 1600 \)
\( (20 - x_C)^2 + (20 \cdot 0.732)^2 = 1600 \)
\( (20 - x_C)^2 + (14.64)^2 \approx 1600 \)
\( (20 - x_C)^2 + 214.3296 \approx 1600 \)
\( (20 - x_C)^2 \approx 1385.6704 \)
\( 20 - x_C \approx \pm \sqrt{1385.6704} \approx \pm 37.22 \)
Если \( 20 - x_C = 37.22 \), то \( x_C = 20 - 37.22 = -17.22 \). Это не соответствует рисунку.
Если \( 20 - x_C = -37.22 \), то \( x_C = 20 + 37.22 = 57.22 \, см \).
Итак, координаты точки \( C \): \( (57.22, 20) \).
Теперь найдем МЦС \( P_{BC} \).
\( P_{BC} \) имеет координаты \( (x_C, y_B) = (57.22, 40\sqrt{3}) \).
Расстояния от МЦС до точек \( A \), \( B \), \( C \):
\( P_{BC}B = |x_{P_{BC}} - x_B| = |57.22 - 0| = 57.22 \, см \)
\( P_{BC}C = |y_{P_{BC}} - y_C| = |40\sqrt{3} - 20| = |69.28 - 20| = 49.28 \, см \)
Угловая скорость шатуна \( \omega_{BC} \):
\[ \omega_{BC} = \frac{V_A}{P_{BC}A} \]
Но мы не знаем \( P_{BC}A \).
Мы знаем \( V_A \).
Мы можем использовать теорему о проекциях скоростей.
Проекции скоростей точек \( A \) и \( B \) на линию \( AB \) равны:
\[ V_A \cos \alpha_{AB} = V_B \cos \beta_{AB} \]
где \( \alpha_{AB} \) - угол между \( V_A \) и \( AB \), \( \beta_{AB} \) - угол между \( V_B \) и \( AB \).
Это слишком сложно. Давайте используем более простой подход.
Скорость точки \( C \) (центра диска) \( V_C \) горизонтальна.
Скорость точки \( B \) \( V_B \) вертикальна.
Рассмотрим треугольник \( ABC \).
Длины сторон: \( AC = 40 \, см \).
Длина \( AB = 40 \, см \).
Это означает, что треугольник \( ABC \) равнобедренный.
Найдем углы шатуна \( ABC \).
Угол наклона \( AB \) к горизонтали:
\( \tan \alpha_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_A - x_B} = \frac{40\sqrt{3} - 20\sqrt{3}}{20 - 0} = \frac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3} \)
Значит, \( \alpha_{AB} = 60^\circ \).
Угол наклона \( AC \) к горизонтали:
\( \tan \alpha_{AC} = \frac{y_A - y_C}{x_A - x_C} = \frac{20\sqrt{3} - 20}{20 - 57.22} = \frac{20(\sqrt{3} - 1)}{-37.22} \approx \frac{14.64}{-37.22} \approx -0.393 \)
Значит, \( \alpha_{AC} \approx -21.4^\circ \).
Это не очень удобно. Давайте вернемся к МЦС.
МЦС \( P_{BC} \) находится на пересечении горизонтали через \( B \) и вертикали через \( C \).
Координаты \( P_{BC} = (x_C, y_B) \).
\( x_C \) - горизонтальная координата центра диска.
\( y_B \) - вертикальная координата точки \( B \).
Из рисунка:
\( x_A = OA \cos \phi = 40 \cos 60^\circ = 20 \, см \)
\( y_A = OA \sin \phi = 40 \sin 60^\circ = 20\sqrt{3} \, см \)
Рассмотрим треугольник \( OAB \). \( OA = OB = 40 \, см \).
Точка \( B \) движется по вертикальной линии, проходящей через \( O \).
Значит, \( x_B = 0 \).
В треугольнике \( OAB \), \( AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 OA OB \cos(\angle AOB) \).
Но \( OB \) - это не длина отрезка \( OB \) на рисунке, а длина звена.
На рисунке \( OB \) - это расстояние от \( O \) до \( B \).
Поскольку \( B \) движется по вертикальной направляющей, то \( x_B = 0 \).
Длина \( AB = 40 \, см \).
\( AB^2 = (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 \)
\( 40^2 = (20 - 0)^2 + (20\sqrt{3} - y_B)^2 \)
\( 1600 = 400 + (20\sqrt{3} - y_B)^2 \)
\( 1200 = (20\sqrt{3} - y_B)^2 \)
\( \pm \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} - y_B \)
\( \pm 20\sqrt{3} = 20\sqrt{3} - y_B \)
Если \( 20\sqrt{3} = 20\sqrt{3} - y_B \), то \( y_B = 0 \). Это неверно.
Если \( -20\sqrt{3} = 20\sqrt{3} - y_B \), то \( y_B = 40\sqrt{3} \approx 69.28 \, см \).
Итак, \( B = (0, 40\sqrt{3}) \).
Рассмотрим треугольник \( ODC \).
\( D \) - точка на горизонтальной линии, проходящей через \( O \).
\( C \) - центр диска. \( y_C = r = 20 \, см \).
Длина \( AC = 40 \, см \).
\( AC^2 = (x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 \)
\( 40^2 = (20 - x_C)^2 + (20\sqrt{3} - 20)^2 \)
\( 1600 = (20 - x_C)^2 + (20(\sqrt{3} - 1))^2 \)
\( 1600 = (20 - x_C)^2 + (20 \cdot 0.732)^2 \)
\( 1600 = (20 - x_C)^2 + (14.64)^2 \)
\( 1600 = (20 - x_C)^2 + 214.3296 \)
\( (20 - x_C)^2 = 1385.6704 \)
\( 20 - x_C = \pm \sqrt{1385.6704} \approx \pm 37.22 \)
По рисунку \( x_C > x_A \), поэтому \( 20 - x_C \) должно быть отрицательным.
\( 20 - x_C = -37.22 \)
\( x_C = 20 + 37.22 = 57.22 \, см \).
Итак, \( C = (57.22, 20) \).
Теперь найдем МЦС \( P_{BC} \) для шатуна \( ABC \).
\( P_{BC} \) находится на пересечении горизонтали через \( B \) и вертикали через \( C \).
\( P_{BC} = (x_C, y_B) = (57.22, 40\sqrt{3}) \approx (57.22, 69.28) \).
Расстояния от МЦС:
\( P_{BC}B = |x_{P_{BC}} - x_B| = |57.22 - 0| = 57.22 \, см \)
\( P_{BC}C = |y_{P_{BC}} - y_C| = |69.28 - 20| = 49.28 \, см \)
\( P_{BC}A = \sqrt{(x_A - x_{P_{BC}})^2 + (y_A - y_{P_{BC}})^2} = \sqrt{(20 - 57.22)^2 + (20\sqrt{3} - 40\sqrt{3})^2} \)
\( P_{BC}A = \sqrt{(-37.22)^2 + (-20\sqrt{3})^2} = \sqrt{1385.3284 + 1200} = \sqrt{2585.3284} \approx 50.85 \, см \)
Угловая скорость шатуна \( \omega_{ABC} \):
\[ \omega_{ABC} = \frac{V_A}{P_{BC}A} = \frac{80}{50.85} \approx 1.573 \, 1/с \]
Скорости точек \( B \) и \( C \):
\[ V_B = \omega_{ABC} \cdot P_{BC}B = 1.573 \cdot 57.22 \approx 90.
