Решение задач по матрицам: понятие, виды, действия, определители

Ниже представлены ответы на вопросы, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. 1. Понятие матрицы. Элементы матрицы. Виды матриц. Матрица — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Обозначаются матрицы заглавными латинскими буквами, например, A. Виды матриц: 1) Прямоугольная — число строк не равно числу столбцов. 2) Квадратная — число строк равно числу столбцов. 3) Матрица-строка — состоит из одной строки. 4) Матрица-столбец — состоит из одного столбца. 5) Нулевая матрица — все элементы равны 0. 6) Единичная матрица (E) — квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а остальные элементы 0. Пример квадратной матрицы 2 на 2: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \] 2. Понятие матрицы. Действия над матрицами. Над матрицами можно выполнять следующие действия: 1) Сложение (вычитание) — выполняется только для матриц одинакового размера. Складываются соответствующие элементы. 2) Умножение на число — каждый элемент матрицы умножается на это число. 3) Умножение матриц — выполняется по правилу "строка на столбец". Число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй. Пример сложения: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+1 \\ 3+2 & 4+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \] 3. Определитель матрицы. Определитель второго порядка. Свойства определителей. Определитель (детерминант) — это числовая характеристика квадратной матрицы. Для матрицы второго порядка он вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей: \[ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \] Свойства: 1) При транспонировании (замене строк столбцами) определитель не меняется. 2) При перестановке двух строк знак определителя меняется на противоположный. 3) Если в матрице есть нулевая строка, определитель равен 0. 4. Определитель третьего порядка. Способы вычисления. Определитель третьего порядка имеет вид: \[ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \] Способы вычисления: 1) Правило треугольников (правило Саррюса). 2) Разложение по элементам строки или столбца (через алгебраические дополнения). Пример разложения по первой строке: \[ \Delta = a_{11} \cdot M_{11} - a_{12} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot M_{13} \] где M — соответствующие миноры (определители 2-го порядка). 5. СЛУ с двумя неизвестными. Метод сложения. Суть метода: уравнять коэффициенты при одной из переменных, а затем сложить или вычесть уравнения, чтобы эта переменная исчезла. Пример: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ (x + x) + (y - y) = 5 + 1 \] \[ 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \] Подставим в первое: \( 3 + y = 5 \Rightarrow y = 2 \). Ответ: (3; 2). 6. СЛУ с двумя неизвестными. Метод подстановки. Суть метода: выразить одну переменную через другую из любого уравнения и подставить полученное выражение в другое уравнение. Пример: \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases} \] Из первого уравнения: \( y = 4 - x \). Подставим во второе: \[ 2x - (4 - x) = 2 \] \[ 2x - 4 + x = 2 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \] Тогда \( y = 4 - 2 = 2 \). Ответ: (2; 2). 7. СЛУ с двумя неизвестными. Графический метод. Суть метода: построить графики обоих уравнений (обычно это прямые) на одной координатной плоскости. Точка пересечения графиков будет решением системы. Алгоритм: 1) Выразить \( y \) через \( x \) в каждом уравнении. 2) Построить прямые по двум точкам. 3) Найти координаты точки пересечения \( (x; y) \). Если прямые параллельны — решений нет. Если совпадают — решений бесконечно много. 8. СЛУ. Решение правилом Крамера. Метод используется для систем, где число уравнений равно числу неизвестных. Для системы 2-го порядка: 1) Находим главный определитель \( \Delta \) (из коэффициентов при x и y). 2) Находим вспомогательные определители \( \Delta_x \) и \( \Delta_y \) (заменяя соответствующий столбец на свободные члены). 3) Находим переменные по формулам: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \] Если \( \Delta \neq 0 \), система имеет единственное решение. 9. СЛУ. Метод Гаусса. Метод Гаусса — это метод последовательного исключения переменных. Алгоритм: 1) Записываем расширенную матрицу системы (коэффициенты и свободные члены). 2) С помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу к ступенчатому виду (под главной диагональю должны быть нули). 3) Из полученной "треугольной" системы находим переменные, двигаясь снизу вверх. 10. Числовая последовательность. Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Способы задания: 1) Словесный. 2) Аналитический (формулой n-го члена), например: \( a_n = 2n + 1 \). 3) Рекуррентный (через предыдущие члены), например: \( a_{n+1} = a_n + 3 \). Виды: возрастающие, убывающие, ограниченные, бесконечные. Пример: Арифметическая прогрессия 2, 4, 6, 8... 11. Предел последовательности. Число A называется пределом последовательности \( a_n \), если при увеличении n члены последовательности неограниченно приближаются к A. Записывается: \( \lim_{n \to \infty} a_n = A \). Свойства: 1) Предел константы равен самой константе. 2) Предел суммы равен сумме пределов. 3) Предел произведения равен произведению пределов. Пример: \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \). 12. Предел функции на бесконечности. Функция \( f(x) \) имеет предел L при \( x \to \infty \), если значения функции становятся сколь угодно близкими к L при достаточно больших x. Свойства аналогичны свойствам пределов последовательностей (линейность, предел произведения и частного). Пример: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x} = \lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2 \). 13. Предел функции в точке. Число A называется пределом функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), если при \( x \), стремящемся к \( x_0 \), значения функции стремятся к A. Записывается: \( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \). Свойства: Если пределы функций существуют, то предел их суммы, разности, произведения и частного (при ненулевом знаменателе) равен соответственно сумме, разности, произведению и частному их пределов. 14. Предел функции в точке. Раскрытие неопределенностей. Иногда при подстановке \( x_0 \) в функцию получаются неопределенности вида \( \frac{0}{0} \) или \( \frac{\infty}{\infty} \). Способы раскрытия: 1) Разложение на множители и сокращение. 2) Деление на старшую степень (для бесконечности). 3) Умножение на сопряженное (для иррациональностей). Пример для \( \frac{0}{0} \): \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 \] 15. Понятие производной. Правила дифференцирования. Производная характеризует скорость изменения функции. Основные формулы: 1) \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \) 2) \( (C)' = 0 \) (производная константы) 3) \( (\sin x)' = \cos x \) Правила: 1) \( (u \pm v)' = u' \pm v' \) 2) \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \) 3) Сложная функция: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \) Пример: \( (x^2 + 5x)' = 2x + 5 \). 16. Исследование функции и построение графика. Чтобы построить график, нужно: 1) Найти область определения (где функция существует). 2) Найти точки пересечения с осями: - С Оу: подставить \( x = 0 \). - С Ох: решить уравнение \( f(x) = 0 \). 3) Найти производную \( f'(x) \). 4) Найти критические точки (где \( f'(x) = 0 \)). 5) Определить промежутки монотонности: если \( f'(x) > 0 \), функция растет; если \( f'(x) < 0 \), убывает. 6) Найти точки экстремума (максимумы и минимумы). Пример: \( y = x^2 - 4x + 3 \). - Область определения: все числа. - Пересечение с Оу: (0; 3). - Пересечение с Ох: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1, x=3 \). - Производная: \( y' = 2x - 4 \). - Точка экстремума: \( 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) (минимум). - График — парабола с вершиной в (2; -1).