Решение задачи: ГЦК Решетка - Построение и Расчет Объема

Хорошо, давайте найдем объем элементарной ячейки ГЦК решётки. Объем элементарной ячейки, определенной тремя основными векторами \(\vec{a_1}\), \(\vec{a_2}\), \(\vec{a_3}\), находится как абсолютное значение смешанного произведения этих векторов: \[V = |\vec{a_1} \cdot (\vec{a_2} \times \vec{a_3})|\] Мы уже определили основные векторы для ГЦК решётки с длиной ребра куба \(a\): \[\vec{a_1} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\] \[\vec{a_2} = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\] \[\vec{a_3} = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right)\] Теперь вычислим смешанное произведение. Это можно сделать с помощью определителя матрицы, составленной из координат этих векторов: \[V = \left| \begin{vmatrix} \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\ 0 & \frac{a}{2} & \frac{a}{2} \\ \frac{a}{2} & 0 & \frac{a}{2} \end{vmatrix} \right|\] Раскроем определитель по первой строке: \[V = \left| \frac{a}{2} \left( \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cdot 0 \right) - \frac{a}{2} \left( 0 \cdot \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \right) + 0 \left( 0 \cdot 0 - \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \right) \right|\] \[V = \left| \frac{a}{2} \left( \frac{a^2}{4} \right) - \frac{a}{2} \left( -\frac{a^2}{4} \right) + 0 \right|\] \[V = \left| \frac{a^3}{8} + \frac{a^3}{8} \right|\] \[V = \left| \frac{2a^3}{8} \right|\] \[V = \frac{a^3}{4}\] **Ответ для тетради:** Объем элементарной ячейки ГЦК решётки равен \(\frac{a^3}{4}\), где \(a\) - длина ребра куба, из которого строится ГЦК-решетка. **Пояснение:** 1. Мы используем формулу для объема параллелепипеда, построенного на трех векторах: \(V = |\vec{a_1} \cdot (\vec{a_2} \times \vec{a_3})|\). 2. Подставляем координаты основных векторов ГЦК решётки: * \(\vec{a_1} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\) * \(\vec{a_2} = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\) * \(\vec{a_3} = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right)\) 3. Вычисляем определитель матрицы, составленной из этих векторов. 4. В результате получаем, что объем элементарной ячейки ГЦК решётки равен \(\frac{a^3}{4}\). Это означает, что примитивная ячейка ГЦК-решетки в 4 раза меньше, чем объем кубической ячейки, которую мы обычно рисуем для ГЦК. Это логично, так как в кубической ячейке ГЦК содержится 4 атома (8 вершин по 1/8 + 6 граней по 1/2 = 1 + 3 = 4 атома), а примитивная ячейка по определению содержит 1 атом.