Решение задач по физике: путь, перемещение, средняя скорость

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику, с использованием MathJax для формул и без Markdown. 1. Велосипедист движется равномерно по окружности радиусом 200 м. Определите путь и модуль перемещения велосипедиста за половину периода. Дано: Радиус окружности \(R = 200\) м Время движения \(t = \frac{T}{2}\) (половина периода) Найти: Путь \(S\) Модуль перемещения \(\Delta r\) Решение: 1. Путь, пройденный велосипедистом за половину периода, равен половине длины окружности. Длина окружности \(L = 2 \pi R\). Путь \(S = \frac{1}{2} L = \frac{1}{2} (2 \pi R) = \pi R\). Подставим значения: \(S = 3,14 \cdot 200\) м \(S = 628\) м 2. Модуль перемещения за половину периода равен расстоянию между начальной и конечной точками, которые находятся на противоположных концах диаметра. Модуль перемещения \(\Delta r = 2R\). Подставим значения: \(\Delta r = 2 \cdot 200\) м \(\Delta r = 400\) м Ответ: Путь велосипедиста за половину периода равен 628 м, а модуль перемещения равен 400 м. 2. Велосипедист проехал 40 км со скоростью 20 км/ч, а потом еще 30 км проехал за 3 ч. Какова его средняя скорость на всем пути? Дано: Первый участок пути: \(S_1 = 40\) км \(v_1 = 20\) км/ч Второй участок пути: \(S_2 = 30\) км \(t_2 = 3\) ч Найти: Средняя скорость \(v_{ср}\) Решение: 1. Определим время, затраченное на первом участке пути. \(t_1 = \frac{S_1}{v_1}\) \(t_1 = \frac{40 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}}\) \(t_1 = 2\) ч 2. Определим общее время движения. \(t_{общ} = t_1 + t_2\) \(t_{общ} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч}\) \(t_{общ} = 5\) ч 3. Определим общий путь. \(S_{общ} = S_1 + S_2\) \(S_{общ} = 40 \text{ км} + 30 \text{ км}\) \(S_{общ} = 70\) км 4. Определим среднюю скорость на всем пути. \(v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}\) \(v_{ср} = \frac{70 \text{ км}}{5 \text{ ч}}\) \(v_{ср} = 14\) км/ч Ответ: Средняя скорость велосипедиста на всем пути равна 14 км/ч. 3. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется в земляной вал и застревает на глубине 0,36 м. Сколько времени двигалась пуля внутри вала? Дано: Начальная скорость пули \(v_0 = 400\) м/с Конечная скорость пули \(v = 0\) м/с (пуля застревает) Глубина (путь) \(S = 0,36\) м Найти: Время движения пули внутри вала \(t\) Решение: 1. Пуля движется внутри вала с постоянным отрицательным ускорением (замедлением). Для равноускоренного (или равнозамедленного) движения без времени можно использовать формулу: \(v^2 - v_0^2 = 2aS\) Отсюда найдем ускорение \(a\): \(a = \frac{v^2 - v_0^2}{2S}\) \(a = \frac{0^2 - (400 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0,36 \text{ м}}\) \(a = \frac{-160000 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0,72 \text{ м}}\) \(a \approx -222222,22\) м/с\(^2\) (знак минус указывает на замедление) 2. Теперь, зная ускорение, найдем время движения пули внутри вала, используя формулу: \(v = v_0 + at\) Отсюда: \(t = \frac{v - v_0}{a}\) \(t = \frac{0 \text{ м/с} - 400 \text{ м/с}}{-222222,22 \text{ м/с}^2}\) \(t = \frac{-400 \text{ м/с}}{-222222,22 \text{ м/с}^2}\) \(t \approx 0,0018\) с Ответ: Пуля двигалась внутри вала примерно 0,0018 с. 4. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 120 м со скоростью 36 км/ч. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля? Дано: Радиус закругления \(R = 120\) м Скорость автомобиля \(v = 36\) км/ч Найти: Центростремительное ускорение \(a_ц\) Решение: 1. Переведем скорость из километров в час в метры в секунду. \(1\) км/ч \( = \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1}{3,6}\) м/с \(v = 36 \text{ км/ч} = \frac{36}{3,6}\) м/с \(v = 10\) м/с 2. Формула для центростремительного ускорения: \(a_ц = \frac{v^2}{R}\) 3. Подставим значения: \(a_ц = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{120 \text{ м}}\) \(a_ц = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{120 \text{ м}}\) \(a_ц = \frac{10}{12}\) м/с\(^2\) \(a_ц = \frac{5}{6}\) м/с\(^2\) \(a_ц \approx 0,83\) м/с\(^2\) Ответ: Центростремительное ускорение автомобиля равно примерно 0,83 м/с\(^2\). 5. Вагон массой 30 т, движущийся горизонтально со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 20 т. С какой скоростью движется сцепка? Дано: Масса первого вагона \(m_1 = 30\) т \( = 30000\) кг Скорость первого вагона \(v_1 = 1,5\) м/с Масса второго вагона \(m_2 = 20\) т \( = 20000\) кг Скорость второго вагона \(v_2 = 0\) м/с (неподвижен) Найти: Скорость сцепки \(v\) Решение: 1. Это задача на закон сохранения импульса. До сцепления система состоит из двух вагонов, после сцепления – из одного целого объекта (сцепки). Суммарный импульс системы до сцепления равен суммарному импульсу системы после сцепления. \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v\) 2. Подставим известные значения: \((30000 \text{ кг} \cdot 1,5 \text{ м/с}) + (20000 \text{ кг} \cdot 0 \text{ м/с}) = (30000 \text{ кг} + 20000 \text{ кг}) v\) \(45000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 0 = 50000 \text{ кг} \cdot v\) \(45000 = 50000 v\) 3. Найдем скорость сцепки \(v\): \(v = \frac{45000}{50000}\) м/с \(v = \frac{45}{50}\) м/с \(v = 0,9\) м/с Ответ: Сцепка движется со скоростью 0,9 м/с. 6. При каком ускорении разорвется трос при подъеме груза массой 500 кг, если максимальная сила натяжения, которую выдерживает трос не разрываясь, равна 15 кН? Дано: Масса груза \(m = 500\) кг Максимальная сила натяжения \(T_{max} = 15\) кН \( = 15000\) Н Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (можно использовать 10 м/с\(^2\) для упрощения, если не указано иное) Найти: Ускорение \(a\), при котором разорвется трос Решение: 1. Рассмотрим силы, действующие на груз при его подъеме. Это сила натяжения троса \(T\), направленная вверх, и сила тяжести \(mg\), направленная вниз. Согласно второму закону Ньютона: \(T - mg = ma\) 2. Трос разорвется, когда сила натяжения \(T\) достигнет своего максимального значения \(T_{max}\). Тогда: \(T_{max} - mg = ma\) 3. Выразим ускорение \(a\): \(a = \frac{T_{max} - mg}{m}\) 4. Подставим значения. Используем \(g = 9,8\) м/с\(^2\). \(a = \frac{15000 \text{ Н} - (500 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2)}{500 \text{ кг}}\) \(a = \frac{15000 \text{ Н} - 4900 \text{ Н}}{500 \text{ кг}}\) \(a = \frac{10100 \text{ Н}}{500 \text{ кг}}\) \(a = 20,2\) м/с\(^2\) Ответ: Трос разорвется при ускорении 20,2 м/с\(^2\).