help_outlineУсловие задачи
. (10 баллов). В следующей выборке представлены данные по сжемесячному объёму продаж (Ү, в тыс. руб.) и затратам на рекламу (Х, в тыс. руб.) для розничного магазина в течение года:
Х (затраты на
рекламу, тыс. руб.)
У (объём продаж, тыс. руб.)
1,5
100 115
2.0
108
1,8
2,5
120
3.0
130
3,5
140
4.0
150
3,8
145
2,8
3.2
126
110
выборочного коэффициента корреляции. среднего уровня текущих затрат. При уровне значимости а=0.05 проверить гипотезу о значимости Оцените тесноту и направление связи между переменными Хи У с помощью выборочного коэффициента корреляции. Дайте интерпретацию полученного результата (указать силу и характер связи). Постройте уравнение прямой регрессии У на Х. Объясните экономический смысл коэффициентов уравнения. Выполните прогноз объёма продаж при прогнозном значении затрат на рекламу, составляющем 110% от
Для решения задачи составим расчетную таблицу. Обозначим \( n = 10 \) (количество наблюдений).
Данные:
\( X \): 1,5; 2,0; 1,8; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 3,8; 2,8; 3,2.
\( Y \): 100; 115; 108; 120; 130; 140; 150; 145; 126; 110.
1. Вычисление средних величин:
Среднее значение \( X \):
\[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1,5 + 2,0 + 1,8 + 2,5 + 3,0 + 3,5 + 4,0 + 3,8 + 2,8 + 3,2}{10} = \frac{28,1}{10} = 2,81 \]
Среднее значение \( Y \):
\[ \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{100 + 115 + 108 + 120 + 130 + 140 + 150 + 145 + 126 + 110}{10} = \frac{1244}{10} = 124,4 \]
2. Расчет коэффициента корреляции:
Для этого найдем суммы квадратов и сумму произведений:
\[ \sum x_i^2 = 1,5^2 + 2,0^2 + 1,8^2 + 2,5^2 + 3,0^2 + 3,5^2 + 4,0^2 + 3,8^2 + 2,8^2 + 3,2^2 = 85,31 \]
\[ \sum y_i^2 = 100^2 + 115^2 + 108^2 + 120^2 + 130^2 + 140^2 + 150^2 + 145^2 + 126^2 + 110^2 = 157254 \]
\[ \sum x_i y_i = 1,5 \cdot 100 + 2,0 \cdot 115 + ... + 3,2 \cdot 110 = 3569,1 \]
Выборочный коэффициент корреляции Пирсона:
\[ r_{xy} = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{\sqrt{[n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}} \]
\[ r_{xy} = \frac{10 \cdot 3569,1 - 28,1 \cdot 1244}{\sqrt{[10 \cdot 85,31 - 28,1^2][10 \cdot 157254 - 1244^2]}} \]
\[ r_{xy} = \frac{35691 - 34956,4}{\sqrt{[853,1 - 789,61][1572540 - 1547536]}} = \frac{734,6}{\sqrt{63,49 \cdot 25004}} \approx \frac{734,6}{1260} \approx 0,583 \]
Интерпретация: Связь между затратами на рекламу и объемом продаж прямая (так как \( r > 0 \)) и заметная по шкале Чеддока.
3. Проверка значимости коэффициента корреляции (\( \alpha = 0,05 \)):
Вычислим t-критерий Стьюдента:
\[ t_{набл} = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \frac{0,583 \sqrt{8}}{\sqrt{1-0,583^2}} \approx \frac{1,649}{0,812} \approx 2,03 \]
Критическое значение \( t_{крит}(0,05; 8) = 2,306 \).
Так как \( t_{набл} < t_{крит} \), гипотеза о значимости коэффициента корреляции на данном уровне значимости отклоняется (связь статистически не подтверждена на 5% уровне, возможно из-за малой выборки).
4. Уравнение прямой регрессии \( Y = a + bX \):
Коэффициент регрессии \( b \):
\[ b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{734,6}{63,49} \approx 11,57 \]
Коэффициент \( a \):
\[ a = \bar{y} - b\bar{x} = 124,4 - 11,57 \cdot 2,81 \approx 124,4 - 32,51 = 91,89 \]
Уравнение регрессии: \( \hat{y} = 91,89 + 11,57x \)
Экономический смысл:
Коэффициент \( a = 91,89 \) показывает ожидаемый объем продаж (91,89 тыс. руб.) при нулевых затратах на рекламу.
Коэффициент \( b = 11,57 \) показывает, что при увеличении затрат на рекламу на 1 тыс. руб. объем продаж в среднем вырастет на 11,57 тыс. руб.
5. Прогноз:
Текущий средний уровень затрат \( \bar{x} = 2,81 \).
Прогнозное значение \( X_{prog} = 2,81 \cdot 1,1 = 3,091 \) тыс. руб.
Прогноз объема продаж:
\[ \hat{y}_{prog} = 91,89 + 11,57 \cdot 3,091 \approx 91,89 + 35,76 = 127,65 \]
Ответ: Прогнозный объем продаж составит 127,65 тыс. руб.
