Решение задачи 143: AB = CD, BD = AC

Вот решение задачи 143. Задача 143. На рисунке 81 \(AB = CD\) и \(BD = AC\). Докажите, что: а) \(\angle CAD = \angle ADB\); б) \(\angle BAC = \angle CDB\). Решение: а) Докажем, что \(\angle CAD = \angle ADB\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle DCA\). У нас дано: 1. \(AB = CD\) (по условию). 2. \(BD = AC\) (по условию). 3. Сторона \(AD\) является общей для обоих треугольников. Поскольку три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Значит, \(\triangle ABD = \triangle DCA\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Угол \(\angle CAD\) лежит напротив стороны \(CD\) в треугольнике \(\triangle DCA\). Угол \(\angle ADB\) лежит напротив стороны \(AB\) в треугольнике \(\triangle ABD\). Так как \(CD = AB\), то углы, лежащие напротив этих сторон, равны. Следовательно, \(\angle CAD = \angle ADB\). б) Докажем, что \(\angle BAC = \angle CDB\). Мы уже доказали, что \(\triangle ABD = \triangle DCA\). Из равенства этих треугольников также следует равенство других соответствующих углов. Угол \(\angle BAC\) лежит напротив стороны \(BC\) в треугольнике \(\triangle ABC\). (Здесь нужно быть внимательным, так как \(\angle BAC\) - это угол в \(\triangle ABC\), а не в \(\triangle ABD\). Но в \(\triangle ABD\) есть угол \(\angle BAD\)). Давайте посмотрим на углы, которые непосредственно следуют из равенства \(\triangle ABD = \triangle DCA\). Из равенства \(\triangle ABD = \triangle DCA\) следует, что: 1. \(\angle DAB = \angle CDA\) (углы, лежащие напротив равных сторон \(BD\) и \(AC\)). 2. \(\angle ABD = \angle DCA\) (углы, лежащие напротив равных сторон \(AD\) и \(AD\), но это не совсем так, они лежат напротив \(AD\) и \(AD\), но это не те углы, которые нам нужны). 3. \(\angle ADB = \angle CAD\) (это мы уже доказали в пункте а)). 4. \(\angle BAD = \angle CDA\) (углы, лежащие напротив сторон \(BD\) и \(AC\)). 5. \(\angle ABD = \angle ACD\) (углы, лежащие напротив сторон \(AD\) и \(AD\)). Теперь рассмотрим углы \(\angle BAC\) и \(\angle CDB\). Угол \(\angle BAC\) - это часть угла \(\angle BAD\). Угол \(\angle CDB\) - это часть угла \(\angle CDA\). Из равенства \(\triangle ABD = \triangle DCA\) мы имеем \(\angle BAD = \angle CDA\). Также мы имеем \(\angle CAD = \angle ADB\). Мы можем записать: \(\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD\) \(\angle CDB = \angle CDA - \angle ADB\) Так как \(\angle BAD = \angle CDA\) и \(\angle CAD = \angle ADB\), то, вычитая равные углы из равных углов, мы получаем равные результаты. Следовательно, \(\angle BAC = \angle CDB\). Ответ: а) \(\angle CAD = \angle ADB\) доказано из равенства треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle DCA\) по трём сторонам. б) \(\angle BAC = \angle CDB\) доказано из равенства углов \(\angle BAD = \angle CDA\) и \(\angle CAD = \angle ADB\), полученных из равенства треугольников.