Решение задач 14.31-14.39: Наибольшее и наименьшее значения функции

Конечно, давайте решим эти задачи. Задание В14. Наибольшее и наименьшее значения функции. 14.31. Найти наибольшее значение функции \(f(x) = 9^x - 81^x\) на отрезке \(\left[\frac{1}{2}; 2\right]\). Решение: 1. Найдем производную функции: \(f'(x) = (9^x)' - (81^x)'\) \(f'(x) = 9^x \ln 9 - 81^x \ln 81\) Заметим, что \(81 = 9^2\), поэтому \(81^x = (9^2)^x = 9^{2x}\). Также \(\ln 81 = \ln (9^2) = 2 \ln 9\). Тогда \(f'(x) = 9^x \ln 9 - 9^{2x} \cdot 2 \ln 9\) Вынесем общий множитель \(9^x \ln 9\): \(f'(x) = 9^x \ln 9 (1 - 2 \cdot 9^x)\) 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(9^x \ln 9 (1 - 2 \cdot 9^x) = 0\) Так как \(9^x > 0\) и \(\ln 9 \neq 0\), то \(1 - 2 \cdot 9^x = 0\). \(2 \cdot 9^x = 1\) \(9^x = \frac{1}{2}\) \(x = \log_9 \frac{1}{2}\) \(x = \log_9 2^{-1}\) \(x = -\log_9 2\) 3. Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку \(\left[\frac{1}{2}; 2\right]\). Так как \(\log_9 2 > 0\), то \(-\log_9 2 < 0\). Отрезок \(\left[\frac{1}{2}; 2\right]\) содержит только положительные числа. Значит, критическая точка \(x = -\log_9 2\) не принадлежит данному отрезку. 4. Поскольку на отрезке нет критических точек, наибольшее значение функции достигается на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка: При \(x = \frac{1}{2}\): \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 9^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{81} = 3 - 9 = -6\) При \(x = 2\): \(f(2) = 9^2 - 81^2 = 81 - 6561 = -6480\) 5. Сравним полученные значения: \(-6\) и \(-6480\). Наибольшее значение равно \(-6\). Ответ: \(-6\). 14.33. Найти наибольшее значение функции \(f(x) = -2x + \ln(x+5)^2\) на отрезке \([-4; 0]\). Решение: 1. Преобразуем функцию, используя свойство логарифма \(\ln a^b = b \ln a\): \(f(x) = -2x + 2 \ln(x+5)\) Область определения логарифма: \(x+5 > 0\), то есть \(x > -5\). Отрезок \([-4; 0]\) полностью входит в область определения. 2. Найдем производную функции: \(f'(x) = (-2x)' + (2 \ln(x+5))'\) \(f'(x) = -2 + 2 \cdot \frac{1}{x+5} \cdot (x+5)'\) \(f'(x) = -2 + \frac{2}{x+5}\) 3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(-2 + \frac{2}{x+5} = 0\) \(\frac{2}{x+5} = 2\) \(2 = 2(x+5)\) \(1 = x+5\) \(x = 1 - 5\) \(x = -4\) 4. Критическая точка \(x = -4\) совпадает с левым концом отрезка \([-4; 0]\). Для определения наибольшего значения функции на отрезке, нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, если они попадают внутрь отрезка. В данном случае, критическая точка является концом отрезка. 5. Вычислим значения функции на концах отрезка: При \(x = -4\): \(f(-4) = -2(-4) + 2 \ln(-4+5) = 8 + 2 \ln(1) = 8 + 2 \cdot 0 = 8\) При \(x = 0\): \(f(0) = -2(0) + 2 \ln(0+5) = 0 + 2 \ln 5 = 2 \ln 5\) 6. Сравним полученные значения: \(8\) и \(2 \ln 5\). Приблизительное значение \(\ln 5 \approx 1.609\). Тогда \(2 \ln 5 \approx 2 \cdot 1.609 = 3.218\). Сравниваем \(8\) и \(3.218\). Наибольшее значение равно \(8\). Ответ: \(8\). 14.35. Найти наименьшее значение функции \(f(x) = x^2 + 2x - 4 \ln x + 3\) на отрезке \([0.5; 1.5]\). Решение: 1. Область определения логарифма: \(x > 0\). Отрезок \([0.5; 1.5]\) полностью входит в область определения. 2. Найдем производную функции: \(f'(x) = (x^2)' + (2x)' - (4 \ln x)' + (3)'\) \(f'(x) = 2x + 2 - 4 \cdot \frac{1}{x}\) \(f'(x) = 2x + 2 - \frac{4}{x}\) 3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(2x + 2 - \frac{4}{x} = 0\) Умножим все на \(x\) (так как \(x \neq 0\) на данном отрезке): \(2x^2 + 2x - 4 = 0\) Разделим на 2: \(x^2 + x - 2 = 0\) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\) \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}\) Два корня: \(x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) 4. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку \([0.5; 1.5]\). \(x_1 = 1\) принадлежит отрезку \([0.5; 1.5]\). \(x_2 = -2\) не принадлежит отрезку \([0.5; 1.5]\). 5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку: При \(x = 0.5\): \(f(0.5) = (0.5)^2 + 2(0.5) - 4 \ln(0.5) + 3\) \(f(0.5) = 0.25 + 1 - 4 \ln\left(\frac{1}{2}\right) + 3\) \(f(0.5) = 4.25 - 4 (\ln 1 - \ln 2)\) \(f(0.5) = 4.25 - 4 (0 - \ln 2)\) \(f(0.5) = 4.25 + 4 \ln 2\) Приблизительное значение \(\ln 2 \approx 0.693\). \(f(0.5) \approx 4.25 + 4 \cdot 0.693 = 4.25 + 2.772 = 7.022\) При \(x = 1\): \(f(1) = 1^2 + 2(1) - 4 \ln 1 + 3\) \(f(1) = 1 + 2 - 4 \cdot 0 + 3\) \(f(1) = 6\) При \(x = 1.5\): \(f(1.5) = (1.5)^2 + 2(1.5) - 4 \ln(1.5) + 3\) \(f(1.5) = 2.25 + 3 - 4 \ln(1.5) + 3\) \(f(1.5) = 8.25 - 4 \ln(1.5)\) Приблизительное значение \(\ln(1.5) \approx 0.405\). \(f(1.5) \approx 8.25 - 4 \cdot 0.405 = 8.25 - 1.62 = 6.63\) 6. Сравним полученные значения: \(7.022\), \(6\), \(6.63\). Наименьшее значение равно \(6\). Ответ: \(6\). 14.37. Найти наибольшее значение функции \(f(x) = x - 3 \ln x + \frac{4}{x}\) на отрезке \([1; 5]\). Решение: 1. Область определения логарифма: \(x > 0\). Также \(x \neq 0\) из-за дроби \(\frac{4}{x}\). Отрезок \([1; 5]\) полностью входит в область определения. 2. Найдем производную функции: \(f'(x) = (x)' - (3 \ln x)' + \left(\frac{4}{x}\right)'\) \(f'(x) = 1 - 3 \cdot \frac{1}{x} + 4 \cdot (-1) x^{-2}\) \(f'(x) = 1 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}\) 3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(1 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2} = 0\) Умножим все на \(x^2\) (так как \(x \neq 0\)): \(x^2 - 3x - 4 = 0\) Решим квадратное уравнение. \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\) \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}\) Два корня: \(x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) 4. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку \([1; 5]\). \(x_1 = 4\) принадлежит отрезку \([1; 5]\). \(x_2 = -1\) не принадлежит отрезку \([1; 5]\). 5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку: При \(x = 1\): \(f(1) = 1 - 3 \ln 1 + \frac{4}{1} = 1 - 3 \cdot 0 + 4 = 5\) При \(x = 4\): \(f(4) = 4 - 3 \ln 4 + \frac{4}{4} = 4 - 3 \ln 4 + 1 = 5 - 3 \ln 4\) Приблизительное значение \(\ln 4 \approx 1.386\). \(f(4) \approx 5 - 3 \cdot 1.386 = 5 - 4.158 = 0.842\) При \(x = 5\): \(f(5) = 5 - 3 \ln 5 + \frac{4}{5} = 5 - 3 \ln 5 + 0.8 = 5.8 - 3 \ln 5\) Приблизительное значение \(\ln 5 \approx 1.609\). \(f(5) \approx 5.8 - 3 \cdot 1.609 = 5.8 - 4.827 = 0.973\) 6. Сравним полученные значения: \(5\), \(0.842\), \(0.973\). Наибольшее значение равно \(5\). Ответ: \(5\). 14.39. Найти наименьшее значение функции \(f(x) = 4 \ln x + (x-3)^2 - 4 \ln 2\) на отрезке \([1; 4]\). Решение: 1. Область определения логарифма: \(x > 0\). Отрезок \([1; 4]\) полностью входит в область определения. Заметим, что \(4 \ln 2\) - это константа, которая не влияет на производную. 2. Найдем производную функции: \(f'(x) = (4 \ln x)' + ((x-3)^2)' - (4 \ln 2)'\) \(f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} + 2(x-3) \cdot (x-3)' - 0\) \(f'(x) = \frac{4}{x} + 2(x-3)\) 3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(\frac{4}{x} + 2(x-3) = 0\) Умножим все на \(x\) (так как \(x \neq 0\) на данном отрезке): \(4 + 2x(x-3) = 0\) \(4 + 2x^2 - 6x = 0\) \(2x^2 - 6x + 4 = 0\) Разделим на 2: \(x^2 - 3x + 2 = 0\) Решим квадратное уравнение. \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\) \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}\) Два корня: \(x_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\) 4. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку \([1; 4]\). \(x_1 = 2\) принадлежит отрезку \([1; 4]\). \(x_2 = 1\) совпадает с левым концом отрезка \([1; 4]\). 5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку: При \(x = 1\): \(f(1) = 4 \ln 1 + (1-3)^2 - 4 \ln 2\) \(f(1) = 4 \cdot 0 + (-2)^2 - 4 \ln 2\) \(f(1) = 0 + 4 - 4 \ln 2 = 4 - 4 \ln 2\) Приблизительное значение \(4 - 4 \ln 2 \approx 4 - 4 \cdot 0.693 = 4 - 2.772 = 1.228\) При \(x = 2\): \(f(2) = 4 \ln 2 + (2-3)^2 - 4 \ln 2\)