Решение задач 14.33, 14.35, 14.37, 14.39

Хорошо, давайте решим задачи 14.33, 14.35, 14.37, 14.39. --- Задание 14.33. Найдите наибольшее значение функции \(f(x) = -2x + \ln(x+5)^2\) на отрезке \([-4, 5, 0]\). Решение: Сначала упростим функцию, используя свойство логарифма \(\ln a^b = b \ln a\): \(f(x) = -2x + 2 \ln(x+5)\) Теперь найдем производную функции: \(f'(x) = (-2x)' + (2 \ln(x+5))'\) \(f'(x) = -2 + 2 \cdot \frac{1}{x+5} \cdot (x+5)'\) \(f'(x) = -2 + \frac{2}{x+5}\) Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(-2 + \frac{2}{x+5} = 0\) \(\frac{2}{x+5} = 2\) \(2 = 2(x+5)\) \(1 = x+5\) \(x = 1-5\) \(x = -4\) Теперь проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку \([-4, 0]\). Точка \(x = -4\) принадлежит отрезку \([-4, 0]\). Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: 1. При \(x = -4\): \(f(-4) = -2(-4) + 2 \ln(-4+5)\) \(f(-4) = 8 + 2 \ln(1)\) \(f(-4) = 8 + 2 \cdot 0\) \(f(-4) = 8\) 2. При \(x = 0\): \(f(0) = -2(0) + 2 \ln(0+5)\) \(f(0) = 0 + 2 \ln(5)\) \(f(0) = 2 \ln(5)\) Приблизительное значение: \(\ln(5) \approx 1.609\), поэтому \(f(0) \approx 2 \cdot 1.609 = 3.218\). Сравниваем значения: \(8\) и \(2 \ln(5)\). Так как \(8 > 2 \ln(5)\), наибольшее значение функции равно \(8\). Ответ: \(8\). --- Задание 14.35. Найдите наименьшее значение функции \(f(x) = x^2 + 2x - 4 \ln x + 3\) на отрезке \([0.5, 1.5]\). Решение: Найдем производную функции: \(f'(x) = (x^2)' + (2x)' - (4 \ln x)' + (3)'\) \(f'(x) = 2x + 2 - 4 \cdot \frac{1}{x} + 0\) \(f'(x) = 2x + 2 - \frac{4}{x}\) Приравняем производную к нулю: \(2x + 2 - \frac{4}{x} = 0\) Умножим все на \(x\) (при условии \(x \neq 0\), что выполняется на данном отрезке): \(2x^2 + 2x - 4 = 0\) Разделим на 2: \(x^2 + x - 2 = 0\) Решим квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\) \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}\) \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}\) \(x = \frac{-1 \pm 3}{2}\) Получаем два корня: \(x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку \([0.5, 1.5]\). Точка \(x_1 = 1\) принадлежит отрезку \([0.5, 1.5]\). Точка \(x_2 = -2\) не принадлежит отрезку \([0.5, 1.5]\). Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: 1. При \(x = 0.5\): \(f(0.5) = (0.5)^2 + 2(0.5) - 4 \ln(0.5) + 3\) \(f(0.5) = 0.25 + 1 - 4 \ln(0.5) + 3\) \(f(0.5) = 4.25 - 4 \ln(0.5)\) Так как \(\ln(0.5) = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2)\), то \(f(0.5) = 4.25 - 4(-\ln(2)) = 4.25 + 4 \ln(2)\) Приблизительное значение: \(\ln(2) \approx 0.693\), поэтому \(f(0.5) \approx 4.25 + 4 \cdot 0.693 = 4.25 + 2.772 = 7.022\). 2. При \(x = 1\): \(f(1) = (1)^2 + 2(1) - 4 \ln(1) + 3\) \(f(1) = 1 + 2 - 4 \cdot 0 + 3\) \(f(1) = 6\) 3. При \(x = 1.5\): \(f(1.5) = (1.5)^2 + 2(1.5) - 4 \ln(1.5) + 3\) \(f(1.5) = 2.25 + 3 - 4 \ln(1.5) + 3\) \(f(1.5) = 8.25 - 4 \ln(1.5)\) Приблизительное значение: \(\ln(1.5) \approx 0.405\), поэтому \(f(1.5) \approx 8.25 - 4 \cdot 0.405 = 8.25 - 1.62 = 6.63\). Сравниваем значения: \(7.022\), \(6\), \(6.63\). Наименьшее значение функции равно \(6\). Ответ: \(6\). --- Задание 14.37. Найдите наибольшее значение функции \(f(x) = 4 \ln x - (x+1)^2\) на отрезке \([0.5, 2.5]\). Решение: Найдем производную функции: \(f'(x) = (4 \ln x)' - ((x+1)^2)'\) \(f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} - 2(x+1) \cdot (x+1)'\) \(f'(x) = \frac{4}{x} - 2(x+1)\) \(f'(x) = \frac{4}{x} - 2x - 2\) Приравняем производную к нулю: \(\frac{4}{x} - 2x - 2 = 0\) Умножим все на \(x\) (при условии \(x \neq 0\), что выполняется на данном отрезке): \(4 - 2x^2 - 2x = 0\) Разделим на \(-2\): \(x^2 + x - 2 = 0\) Это то же квадратное уравнение, что и в задаче 14.35. Его корни: \(x_1 = 1\) \(x_2 = -2\) Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку \([0.5, 2.5]\). Точка \(x_1 = 1\) принадлежит отрезку \([0.5, 2.5]\). Точка \(x_2 = -2\) не принадлежит отрезку \([0.5, 2.5]\). Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: 1. При \(x = 0.5\): \(f(0.5) = 4 \ln(0.5) - (0.5+1)^2\) \(f(0.5) = 4 \ln(0.5) - (1.5)^2\) \(f(0.5) = 4 \ln(0.5) - 2.25\) Так как \(\ln(0.5) = -\ln(2)\), то \(f(0.5) = -4 \ln(2) - 2.25\) Приблизительное значение: \(\ln(2) \approx 0.693\), поэтому \(f(0.5) \approx -4 \cdot 0.693 - 2.25 = -2.772 - 2.25 = -5.022\). 2. При \(x = 1\): \(f(1) = 4 \ln(1) - (1+1)^2\) \(f(1) = 4 \cdot 0 - (2)^2\) \(f(1) = 0 - 4\) \(f(1) = -4\) 3. При \(x = 2.5\): \(f(2.5) = 4 \ln(2.5) - (2.5+1)^2\) \(f(2.5) = 4 \ln(2.5) - (3.5)^2\) \(f(2.5) = 4 \ln(2.5) - 12.25\) Приблизительное значение: \(\ln(2.5) \approx 0.916\), поэтому \(f(2.5) \approx 4 \cdot 0.916 - 12.25 = 3.664 - 12.25 = -8.586\). Сравниваем значения: \(-5.022\), \(-4\), \(-8.586\). Наибольшее значение функции равно \(-4\). Ответ: \(-4\). --- Задание 14.39. Найдите наименьшее значение функции \(f(x) = 4 \ln x + (x-3)^2 - 4 \ln 2\) на отрезке \([1.5, 4]\). Решение: Найдем производную функции. Заметим, что \(4 \ln 2\) - это константа, поэтому ее производная равна нулю. \(f'(x) = (4 \ln x)' + ((x-3)^2)' - (4 \ln 2)'\) \(f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} + 2(x-3) \cdot (x-3)' - 0\) \(f'(x) = \frac{4}{x} + 2(x-3)\) \(f'(x) = \frac{4}{x} + 2x - 6\) Приравняем производную к нулю: \(\frac{4}{x} + 2x - 6 = 0\) Умножим все на \(x\) (при условии \(x \neq 0\), что выполняется на данном отрезке): \(4 + 2x^2 - 6x = 0\) Разделим на 2: \(2x^2 - 6x + 4 = 0\) \(x^2 - 3x + 2 = 0\) Решим квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}\) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}\) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}\) \(x = \frac{3 \pm 1}{2}\) Получаем два корня: \(x_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку \([1.5, 4]\). Точка \(x_1 = 2\) принадлежит отрезку \([1.5, 4]\). Точка \(x_2 = 1\) не принадлежит отрезку \([1.5, 4]\). Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: 1. При \(x = 1.5\): \(f(1.5) = 4 \ln(1.5) + (1.5-3)^2 - 4 \ln 2\) \(f(1.5) = 4 \ln(1.5) + (-1.5)^2 - 4 \ln 2\) \(f(1.5) = 4 \ln(1.5) + 2.25 - 4 \ln 2\) Используем свойство логарифма \(\ln a - \ln b = \ln(\frac{a}{b})\): \(f(1.5) = 4 (\ln(1.5) - \ln 2) + 2.25\) \(f(1.5) = 4 \ln(\frac{1.5}{2}) + 2.25\) \(f(1.5) = 4 \ln(0.75) + 2.25\) Приблизительное значение: \(\ln(0.75) \approx -0.288\), поэтому \(f(1.5) \approx 4 \cdot (-0.288) + 2.25 = -1.152 + 2.25 = 1.098\). 2. При \(x = 2\): \(f(2) = 4 \ln(2) + (2-3)^2 - 4 \ln 2\) \(f(2) = 4 \ln(2) + (-1)^2 - 4 \ln 2\) \(f(2) = 4 \ln(2) + 1 - 4 \ln 2\) \(f(2) = 1\) 3. При \(x = 4\): \(f(4) = 4 \ln(4) + (4-3)^2 - 4 \ln 2\) \(f(4) = 4 \ln(4) + (1)^2 - 4 \ln 2\) \(f(4) = 4 \ln(4) + 1 - 4 \ln 2\) Используем свойство логарифма \(\ln a^b = b \ln a\), то есть \(\ln 4 = \ln 2^2 = 2 \ln 2\): \(f(4) = 4 (2 \ln 2) + 1 - 4 \ln 2\) \(f(4) = 8 \ln 2 + 1 - 4 \ln 2\) \(f(4) = 4 \ln 2 + 1\) Приблизительное значение: \(\ln(2) \approx 0.693\), поэтому \(f(4) \approx 4 \cdot 0.693 + 1 = 2.772 + 1 = 3.772\). Сравниваем значения: \(1.098\), \(1\), \(3.772\). Наименьшее значение функции равно \(1\). Ответ: \(1\).