2-нұсқаның есептерін шығару: Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш

Жарайды, 2-нұсқаның есептерін шығарайық. Есептердің шарты: 1. Төмендегі жағдайларда түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыздар: \[ \frac{x}{4} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{8}, \quad 2x+6y-9z+3=0 \] 2. \(x+y+\sqrt{2}z=5\) теңдеуімен берілген жазықтық пен \[ \begin{cases} x = 5 \\ y = -3 + b \\ z = -1 + b\sqrt{2} \end{cases} \] түзуінің арасындағы бұрышты табыңыз. 3. \(l_1: \begin{cases} x = 2 + a \\ y = a \\ z = 4 + a\sqrt{2} \end{cases}\) түзуі мен \(l_2: \begin{cases} x = 5 \\ y = -3 + b \\ z = -1 + b\sqrt{2} \end{cases}\) түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз. 4. ABCD пирамидасының төбелерінің координаталары A(3; -1; 0), B(0; -7; 3), C(-2; 1; -1), D(3; 2; 6) берілген. AB түзуінің ADC жазықтығына перпендикуляр болатынын дәлелдеңіз. --- Шешуі: 1. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табу. Берілген түзу: \[ \frac{x}{4} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{8} \] Бұл түзудің бағыттаушы векторы \( \vec{s} = (4; 1; 8) \). Берілген жазықтық: \[ 2x+6y-9z+3=0 \] Бұл жазықтықтың нормаль векторы \( \vec{n} = (2; 6; -9) \). Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш \( \phi \) болсын. Онда синус \( \phi \) формуласы келесідей: \[ \sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{||\vec{s}|| \cdot ||\vec{n}||} \] Векторлардың скаляр көбейтіндісін табамыз: \[ \vec{s} \cdot \vec{n} = (4)(2) + (1)(6) + (8)(-9) = 8 + 6 - 72 = -58 \] Векторлардың ұзындықтарын табамыз: \[ ||\vec{s}|| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9 \] \[ ||\vec{n}|| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11 \] Енді \( \sin \phi \) мәнін табамыз: \[ \sin \phi = \frac{|-58|}{9 \cdot 11} = \frac{58}{99} \] Бұрыштың өзін табу үшін арксинус аламыз: \[ \phi = \arcsin\left(\frac{58}{99}\right) \] Жауабы: Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш \( \phi = \arcsin\left(\frac{58}{99}\right) \). --- 2. Жазықтық пен түзудің арасындағы бұрышты табу. Берілген жазықтық: \[ x+y+\sqrt{2}z=5 \] Бұл жазықтықтың нормаль векторы \( \vec{n} = (1; 1; \sqrt{2}) \). Берілген түзу: \[ \begin{cases} x = 5 \\ y = -3 + b \\ z = -1 + b\sqrt{2} \end{cases} \] Бұл түзудің бағыттаушы векторы \( \vec{s} = (0; 1; \sqrt{2}) \). (мұнда \(b\) - параметр) Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш \( \phi \) болсын. Формула бірінші есептегідей: \[ \sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{||\vec{s}|| \cdot ||\vec{n}||} \] Векторлардың скаляр көбейтіндісін табамыз: \[ \vec{s} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (1)(1) + (\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 0 + 1 + 2 = 3 \] Векторлардың ұзындықтарын табамыз: \[ ||\vec{s}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + 2} = \sqrt{3} \] \[ ||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] Енді \( \sin \phi \) мәнін табамыз: \[ \sin \phi = \frac{|3|}{\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Бұрыштың өзін табу үшін арксинус аламыз: \[ \phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ \] Жауабы: Жазықтық пен түзудің арасындағы бұрыш \( \phi = 60^\circ \). --- 3. Екі түзудің арасындағы бұрышты табу. Берілген бірінші түзу \(l_1\): \[ \begin{cases} x = 2 + a \\ y = a \\ z = 4 + a\sqrt{2} \end{cases} \] Бұл түзудің бағыттаушы векторы \( \vec{s_1} = (1; 1; \sqrt{2}) \). (мұнда \(a\) - параметр) Берілген екінші түзу \(l_2\): \[ \begin{cases} x = 5 \\ y = -3 + b \\ z = -1 + b\sqrt{2} \end{cases} \] Бұл түзудің бағыттаушы векторы \( \vec{s_2} = (0; 1; \sqrt{2}) \). (мұнда \(b\) - параметр) Екі түзудің арасындағы бұрыш \( \theta \) болсын. Онда косинус \( \theta \) формуласы келесідей: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{||\vec{s_1}|| \cdot ||\vec{s_2}||} \] Векторлардың скаляр көбейтіндісін табамыз: \[ \vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = (1)(0) + (1)(1) + (\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 0 + 1 + 2 = 3 \] Векторлардың ұзындықтарын табамыз: \[ ||\vec{s_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ ||\vec{s_2}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + 2} = \sqrt{3} \] Енді \( \cos \theta \) мәнін табамыз: \[ \cos \theta = \frac{|3|}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Бұрыштың өзін табу үшін арккосинус аламыз: \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ \] Жауабы: Екі түзудің арасындағы бұрыш \( \theta = 30^\circ \). --- 4. AB түзуінің ADC жазықтығына перпендикуляр болатынын дәлелдеу. Пирамиданың төбелерінің координаталары: A(3; -1; 0) B(0; -7; 3) C(-2; 1; -1) D(3; 2; 6) Алдымен AB түзуінің бағыттаушы векторын табамыз: \[ \vec{AB} = B - A = (0-3; -7-(-1); 3-0) = (-3; -6; 3) \] Енді ADC жазықтығының нормаль векторын табуымыз керек. Ол үшін ADC жазықтығында жатқан екі векторды табамыз, мысалы \( \vec{AC} \) және \( \vec{AD} \). \[ \vec{AC} = C - A = (-2-3; 1-(-1); -1-0) = (-5; 2; -1) \] \[ \vec{AD} = D - A = (3-3; 2-(-1); 6-0) = (0; 3; 6) \] ADC жазықтығының нормаль векторы \( \vec{n} \) бұл екі вектордың векторлық көбейтіндісіне тең болады: \[ \vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD} \] \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 6 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n} = \vec{i}(2 \cdot 6 - (-1) \cdot 3) - \vec{j}(-5 \cdot 6 - (-1) \cdot 0) + \vec{k}(-5 \cdot 3 - 2 \cdot 0) \] \[ \vec{n} = \vec{i}(12 + 3) - \vec{j}(-30 - 0) + \vec{k}(-15 - 0) \] \[ \vec{n} = 15\vec{i} + 30\vec{j} - 15\vec{k} \] Сонымен, жазықтықтың нормаль векторы \( \vec{n} = (15; 30; -15) \). Түзу жазықтыққа перпендикуляр болуы үшін, түзудің бағыттаушы векторы жазықтықтың нормаль векторына коллинеар болуы керек, яғни олардың арасындағы бұрыш 0 немесе 180 градус болуы керек. Басқаша айтқанда, бір вектор екіншісінің қандай да бір коэффициентке көбейтілгеніне тең болуы керек: \( \vec{AB} = k \cdot \vec{n} \). Тексерейік: \( \vec{AB} = (-3; -6; 3) \) \( \vec{n} = (15; 30; -15) \) Егер \( \vec{AB} = k \cdot \vec{n} \) болса, онда: \( -3 = k \cdot 15 \Rightarrow k = -3/15 = -1/5 \) \( -6 = k \cdot 30 \Rightarrow k = -6/30 = -1/5 \) \( 3 = k \cdot (-15) \Rightarrow k = 3/(-15) = -1/5 \) Барлық компоненттер үшін \( k \) мәні бірдей \( -1/5 \) болғандықтан, \( \vec{AB} \) векторы \( \vec{n} \) векторына коллинеар болып табылады. Яғни, \( \vec{AB} = -\frac{1}{5} \vec{n} \). Бұл AB түзуінің ADC жазықтығына перпендикуляр екенін дәлелдейді. Жауабы: AB түзуінің бағыттаушы векторы \( \vec{AB} = (-3; -6; 3) \) және ADC жазықтығының нормаль векторы \( \vec{n} = (15; 30; -15) \) коллинеар болғандықтан, AB түзуі ADC жазықтығына перпендикуляр болады.