Решение: "+2" тоде под корнем

Приношу извинения за недоразумение. Если "+2" тоже находится под корнем, то задача меняется. Давайте перерешаем её с учетом этого уточнения. Задание 7. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами. Дан ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{4n + 2}} \] Решение: Для исследования сходимости ряда с положительными членами воспользуемся предельным признаком сравнения. Общий член ряда \(a_n\) равен: \[ a_n = \frac{1}{\sqrt[n]{4n + 2}} \] Рассмотрим поведение \( \sqrt[n]{4n + 2} \) при \( n \to \infty \). Мы знаем, что \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{P(n)} = 1 \) для любого многочлена \( P(n) \) с положительными коэффициентами. В нашем случае \( P(n) = 4n + 2 \). Следовательно: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4n + 2} = 1 \] Теперь найдем предел общего члена ряда \(a_n\) при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{4n + 2}} = \frac{1}{1} = 1 \] Поскольку предел общего члена ряда не равен нулю ( \( \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \neq 0 \) ), то по необходимому признаку сходимости ряда, данный ряд расходится. Необходимый признак сходимости ряда гласит: если ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) сходится, то \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Если же \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) или предел не существует, то ряд расходится. В нашем случае, \( \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \neq 0 \), следовательно, ряд расходится. Ответ: Ряд расходится.