Решение задач B14: 14.31, 14.33, 14.35, 14.37, 14.39

Хорошо, давайте решим задачи 14.31, 14.33, 14.35, 14.37, 14.39. Задание B14. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Задача 14.31

Найти наибольшее значение функции \(f(x) = 9^x - 81^x\) на отрезке \(\left[\frac{1}{2}; 2\right]\). Решение: 1. Найдем производную функции: Пусть \(t = 9^x\). Тогда \(f(x) = t - t^2\). Производная по \(x\): \[f'(x) = (9^x)' - (81^x)' = 9^x \ln 9 - 81^x \ln 81\] Мы знаем, что \(81 = 9^2\), поэтому \(\ln 81 = \ln (9^2) = 2 \ln 9\). \[f'(x) = 9^x \ln 9 - (9^2)^x \cdot 2 \ln 9 = 9^x \ln 9 - 9^{2x} \cdot 2 \ln 9\] Вынесем общий множитель \(9^x \ln 9\): \[f'(x) = 9^x \ln 9 (1 - 2 \cdot 9^x)\] 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(9^x \ln 9 (1 - 2 \cdot 9^x) = 0\) Так как \(9^x > 0\) и \(\ln 9 \neq 0\), то \(1 - 2 \cdot 9^x = 0\). \(2 \cdot 9^x = 1\) \(9^x = \frac{1}{2}\) \(x = \log_9 \frac{1}{2} = \log_9 1 - \log_9 2 = -\log_9 2\). 3. Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку \(\left[\frac{1}{2}; 2\right]\). \(\log_9 2\) находится между \(\log_9 1 = 0\) и \(\log_9 9 = 1\). Значит, \(-\log_9 2\) находится между \(-1\) и \(0\). Отрезок \(\left[\frac{1}{2}; 2\right]\) начинается с \(0.5\). Так как \(-\log_9 2 < 0.5\), критическая точка не принадлежит заданному отрезку. 4. Найдем значения функции на концах отрезка: При \(x = \frac{1}{2}\): \[f\left(\frac{1}{2}\right) = 9^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{81} = 3 - 9 = -6\] При \(x = 2\): \[f(2) = 9^2 - 81^2 = 81 - 6561 = -6480\] 5. Сравним полученные значения: \(-6\) и \(-6480\). Наибольшее значение функции на отрезке равно \(-6\). Ответ: \(-6\).

Задача 14.33

Найти наибольшее значение функции \(f(x) = -2x + \ln((x+5)^2)\) на отрезке \([-4.5; 0]\). Решение: 1. Преобразуем функцию, используя свойство логарифма \(\ln(a^b) = b \ln a\): \(f(x) = -2x + 2 \ln|x+5|\). На отрезке \([-4.5; 0]\), \(x+5 > 0\), поэтому \(|x+5| = x+5\). \(f(x) = -2x + 2 \ln(x+5)\). 2. Найдем производную функции: \[f'(x) = (-2x)' + (2 \ln(x+5))' = -2 + 2 \cdot \frac{1}{x+5} = -2 + \frac{2}{x+5}\] 3. Приравняем производную к нулю: \(-2 + \frac{2}{x+5} = 0\) \(\frac{2}{x+5} = 2\) \(2 = 2(x+5)\) \(1 = x+5\) \(x = 1 - 5\) \(x = -4\). 4. Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку \([-4.5; 0]\). \(-4\) принадлежит отрезку \([-4.5; 0]\). 5. Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка: При \(x = -4\): \[f(-4) = -2(-4) + 2 \ln(-4+5) = 8 + 2 \ln 1 = 8 + 2 \cdot 0 = 8\] При \(x = -4.5\): \[f(-4.5) = -2(-4.5) + 2 \ln(-4.5+5) = 9 + 2 \ln(0.5) = 9 + 2 \ln\left(\frac{1}{2}\right) = 9 - 2 \ln 2\] При \(x = 0\): \[f(0) = -2(0) + 2 \ln(0+5) = 0 + 2 \ln 5 = 2 \ln 5\] 6. Сравним полученные значения: \(f(-4) = 8\) \(f(-4.5) = 9 - 2 \ln 2 \approx 9 - 2 \cdot 0.693 = 9 - 1.386 = 7.614\) \(f(0) = 2 \ln 5 \approx 2 \cdot 1.609 = 3.218\) Наибольшее значение функции на отрезке равно \(8\). Ответ: \(8\).

Задача 14.35

Найти наименьшее значение функции \(f(x) = x^2 + 2x - 4 \ln x + 3\) на отрезке \([0.5; 1.5]\). Решение: 1. Найдем производную функции: \[f'(x) = (x^2)' + (2x)' - (4 \ln x)' + (3)' = 2x + 2 - \frac{4}{x}\] 2. Приравняем производную к нулю: \(2x + 2 - \frac{4}{x} = 0\) Умножим все на \(x\) (так как \(x \neq 0\) на данном отрезке): \(2x^2 + 2x - 4 = 0\) Разделим на 2: \(x^2 + x - 2 = 0\) Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}\) \(x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) 3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку \([0.5; 1.5]\). \(x_1 = 1\) принадлежит отрезку \([0.5; 1.5]\). \(x_2 = -2\) не принадлежит отрезку \([0.5; 1.5]\). 4. Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка: При \(x = 1\): \[f(1) = 1^2 + 2(1) - 4 \ln 1 + 3 = 1 + 2 - 4 \cdot 0 + 3 = 6\] При \(x = 0.5\): \[f(0.5) = (0.5)^2 + 2(0.5) - 4 \ln(0.5) + 3 = 0.25 + 1 - 4 \ln\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = 4.25 - 4 (\ln 1 - \ln 2) = 4.25 + 4 \ln 2\] \(4.25 + 4 \ln 2 \approx 4.25 + 4 \cdot 0.693 = 4.25 + 2.772 = 7.022\) При \(x = 1.5\): \[f(1.5) = (1.5)^2 + 2(1.5) - 4 \ln(1.5) + 3 = 2.25 + 3 - 4 \ln(1.5) + 3 = 8.25 - 4 \ln(1.5)\] \(8.25 - 4 \ln(1.5) \approx 8.25 - 4 \cdot 0.405 = 8.25 - 1.62 = 6.63\) 5. Сравним полученные значения: \(f(1) = 6\) \(f(0.5) \approx 7.022\) \(f(1.5) \approx 6.63\) Наименьшее значение функции на отрезке равно \(6\). Ответ: \(6\).

Задача 14.37

Найти наибольшее значение функции \(f(x) = x - 3 \ln x + \frac{4}{x}\) на отрезке \([1; 5]\). Решение: 1. Найдем производную функции: \[f'(x) = (x)' - (3 \ln x)' + \left(\frac{4}{x}\right)' = 1 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}\] 2. Приравняем производную к нулю: \(1 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2} = 0\) Умножим все на \(x^2\) (так как \(x \neq 0\) на данном отрезке): \(x^2 - 3x - 4 = 0\) Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}\) \(x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) 3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку \([1; 5]\). \(x_1 = 4\) принадлежит отрезку \([1; 5]\). \(x_2 = -1\) не принадлежит отрезку \([1; 5]\). 4. Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка: При \(x = 4\): \[f(4) = 4 - 3 \ln 4 + \frac{4}{4} = 4 - 3 \ln 4 + 1 = 5 - 3 \ln 4\] \(5 - 3 \ln 4 \approx 5 - 3 \cdot 1.386 = 5 - 4.158 = 0.842\) При \(x = 1\): \[f(1) = 1 - 3 \ln 1 + \frac{4}{1} = 1 - 3 \cdot 0 + 4 = 5\] При \(x = 5\): \[f(5) = 5 - 3 \ln 5 + \frac{4}{5} = 5 - 3 \ln 5 + 0.8 = 5.8 - 3 \ln 5\] \(5.8 - 3 \ln 5 \approx 5.8 - 3 \cdot 1.609 = 5.8 - 4.827 = 0.973\) 5. Сравним полученные значения: \(f(4) \approx 0.842\) \(f(1) = 5\) \(f(5) \approx 0.973\) Наибольшее значение функции на отрезке равно \(5\). Ответ: \(5\).

Задача 14.39

Найти наименьшее значение функции \(f(x) = 4 \ln x + (x-3)^2 - 4 \ln 2\) на отрезке \([1; 4]\). Решение: 1. Найдем производную функции: \[f'(x) = (4 \ln x)' + ((x-3)^2)' - (4 \ln 2)'\] \[f'(x) = \frac{4}{x} + 2(x-3) \cdot (x-3)' - 0\] \[f'(x) = \frac{4}{x} + 2(x-3)\] 2. Приравняем производную к нулю: \(\frac{4}{x} + 2(x-3) = 0\) Умножим все на \(x\) (так как \(x \neq 0\) на данном отрезке): \(4 + 2x(x-3) = 0\) \(4 + 2x^2 - 6x = 0\) \(2x^2 - 6x + 4 = 0\) Разделим на 2: \(x^2 - 3x + 2 = 0\) Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\). \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}\) \(x_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\) 3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку \([1; 4]\). \(x_1 = 2\) принадлежит отрезку \([1; 4]\). \(x_2 = 1\) принадлежит отрезку \([1; 4]\) (является концом отрезка). 4. Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка: При \(x = 1\): \[f(1) = 4 \ln 1 + (1-3)^2 - 4 \ln 2 = 4 \cdot 0 + (-2)^2 - 4 \ln 2 = 0 + 4 - 4 \ln 2 = 4 - 4 \ln 2\] \(4 - 4 \ln 2 \approx 4 - 4 \cdot 0.693 = 4 - 2.772 = 1.228\) При \(x = 2\): \[f(2) = 4 \ln 2 + (2-3)^2 - 4 \ln 2 = 4 \ln 2 + (-1)^2 - 4 \ln 2 = 1\] При \(x = 4\): \[f(4) = 4 \ln 4 + (4-3)^2 - 4 \ln 2 = 4 \ln 4 + 1^2 - 4 \ln 2\] Используем свойство \(\ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2\): \[f(4) = 4 (2 \ln 2) + 1 - 4 \ln 2 = 8 \ln 2 + 1 - 4 \ln 2 = 4 \ln 2 + 1\] \(4 \ln 2 + 1 \approx 4 \cdot 0.693 + 1 =