Решение: Уравнение плоскости ABC

Хорошо, давайте решим эту задачу по пунктам. Даны координаты точек: \(A = (-4; -1; 1)\) \(B = (-1; -3; -1)\) \(C = (2; -7; -4)\) \(D = (-3; -1; -4)\)

1) Написать уравнение плоскости \(ABC\)

Для того чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через три точки \(A\), \(B\), \(C\), мы можем использовать определитель. Уравнение плоскости, проходящей через точки \( (x_1, y_1, z_1) \), \( (x_2, y_2, z_2) \), \( (x_3, y_3, z_3) \) имеет вид: \[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \] Подставим координаты точек \(A\), \(B\), \(C\): \(A = (-4; -1; 1)\) \(B = (-1; -3; -1)\) \(C = (2; -7; -4)\) Вычислим векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1 - (-4); -3 - (-1); -1 - 1) = (3; -2; -2) \) \( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (2 - (-4); -7 - (-1); -4 - 1) = (6; -6; -5) \) Теперь подставим эти значения в определитель: \[ \begin{vmatrix} x - (-4) & y - (-1) & z - 1 \\ 3 & -2 & -2 \\ 6 & -6 & -5 \end{vmatrix} = 0 \] \[ \begin{vmatrix} x + 4 & y + 1 & z - 1 \\ 3 & -2 & -2 \\ 6 & -6 & -5 \end{vmatrix} = 0 \] Раскроем определитель по первой строке: \( (x + 4) \cdot ((-2) \cdot (-5) - (-2) \cdot (-6)) - (y + 1) \cdot (3 \cdot (-5) - (-2) \cdot 6) + (z - 1) \cdot (3 \cdot (-6) - (-2) \cdot 6) = 0 \) \( (x + 4) \cdot (10 - 12) - (y + 1) \cdot (-15 - (-12)) + (z - 1) \cdot (-18 - (-12)) = 0 \) \( (x + 4) \cdot (-2) - (y + 1) \cdot (-15 + 12) + (z - 1) \cdot (-18 + 12) = 0 \) \( (x + 4) \cdot (-2) - (y + 1) \cdot (-3) + (z - 1) \cdot (-6) = 0 \) \( -2(x + 4) + 3(y + 1) - 6(z - 1) = 0 \) \( -2x - 8 + 3y + 3 - 6z + 6 = 0 \) \( -2x + 3y - 6z + 1 = 0 \) Для удобства можно умножить на \(-1\): \( 2x - 3y + 6z - 1 = 0 \) Это и есть уравнение плоскости \(ABC\). Нормальный вектор плоскости \( \vec{n} = (2; -3; 6) \).

2) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку \(D\) параллельно плоскости \(ABC\)

Если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны. Мы можем взять тот же нормальный вектор \( \vec{n} = (2; -3; 6) \) для новой плоскости. Уравнение плоскости имеет вид \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Подставим \(A=2\), \(B=-3\), \(C=6\): \( 2x - 3y + 6z + D_1 = 0 \) Эта плоскость проходит через точку \(D = (-3; -1; -4)\). Подставим координаты точки \(D\) в уравнение, чтобы найти \(D_1\): \( 2(-3) - 3(-1) + 6(-4) + D_1 = 0 \) \( -6 + 3 - 24 + D_1 = 0 \) \( -27 + D_1 = 0 \) \( D_1 = 27 \) Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку \(D\) параллельно плоскости \(ABC\), будет: \( 2x - 3y + 6z + 27 = 0 \)

3) Написать канонические и параметрические уравнения прямой \(AB\)

Для прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \), направляющий вектор \( \vec{s} \) равен \( (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1) \). Точки: \(A = (-4; -1; 1)\), \(B = (-1; -3; -1)\). Направляющий вектор \( \vec{s} = \vec{AB} = (-1 - (-4); -3 - (-1); -1 - 1) = (3; -2; -2) \).

Канонические уравнения прямой:

Используем точку \(A = (-4; -1; 1)\) и направляющий вектор \( \vec{s} = (3; -2; -2) \). Канонические уравнения прямой имеют вид: \[ \frac{x - x_0}{s_x} = \frac{y - y_0}{s_y} = \frac{z - z_0}{s_z} \] Подставим значения: \[ \frac{x - (-4)}{3} = \frac{y - (-1)}{-2} = \frac{z - 1}{-2} \] \[ \frac{x + 4}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 1}{-2} \]

Параметрические уравнения прямой:

Параметрические уравнения прямой имеют вид: \[ \begin{cases} x = x_0 + s_x t \\ y = y_0 + s_y t \\ z = z_0 + s_z t \end{cases} \] Подставим значения: \[ \begin{cases} x = -4 + 3t \\ y = -1 - 2t \\ z = 1 - 2t \end{cases} \] где \(t\) - параметр.

4) Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку \(D\) перпендикулярно плоскости \(ABC\)

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости. Нормальный вектор плоскости \(ABC\) мы нашли в пункте 1: \( \vec{n} = (2; -3; 6) \). Этот вектор будет направляющим вектором \( \vec{s} \) для нашей прямой. Прямая проходит через точку \(D = (-3; -1; -4)\). Канонические уравнения прямой: \[ \frac{x - x_D}{s_x} = \frac{y - y_D}{s_y} = \frac{z - z_D}{s_z} \] Подставим значения: \[ \frac{x - (-3)}{2} = \frac{y - (-1)}{-3} = \frac{z - (-4)}{6} \] \[ \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 4}{6} \]

5) Найти расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\)

Расстояние от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) вычисляется по формуле: \[ \rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Уравнение плоскости \(ABC\): \( 2x - 3y + 6z - 1 = 0 \). Значит, \(A=2\), \(B=-3\), \(C=6\), \(D=-1\). Координаты точки \(D = (-3; -1; -4)\). Значит, \(x_0=-3\), \(y_0=-1\), \(z_0=-4\). Подставим значения в формулу: \[ \rho = \frac{|2(-3) + (-3)(-1) + 6(-4) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} \] \[ \rho = \frac{|-6 + 3 - 24 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} \] \[ \rho = \frac{|-28|}{\sqrt{49}} \] \[ \rho = \frac{28}{7} \] \[ \rho = 4 \] Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\) равно 4.

Итоги для переписывания в тетрадь:

Даны точки: \(A = (-4; -1; 1)\) \(B = (-1; -3; -1)\) \(C = (2; -7; -4)\) \(D = (-3; -1; -4)\)

1) Уравнение плоскости \(ABC\):

Векторы: \( \vec{AB} = (3; -2; -2) \) \( \vec{AC} = (6; -6; -5) \) Уравнение плоскости: \[ \begin{vmatrix} x + 4 & y + 1 & z - 1 \\ 3 & -2 & -2 \\ 6 & -6 & -5 \end{vmatrix} = 0 \] \( (x + 4)(10 - 12) - (y + 1)(-15 + 12) + (z - 1)(-18 + 12) = 0 \) \( -2(x + 4) + 3(y + 1) - 6(z - 1) = 0 \) \( -2x - 8 + 3y + 3 - 6z + 6 = 0 \) \( -2x + 3y - 6z + 1 = 0 \) или \( 2x - 3y + 6z - 1 = 0 \)

2) Уравнение плоскости, проходящей через точку \(D\) параллельно плоскости \(ABC\):

Нормальный вектор плоскости \(ABC\): \( \vec{n} = (2; -3; 6) \). Уравнение плоскости: \( 2x - 3y + 6z + D_1 = 0 \). Подставим точку \(D = (-3; -1; -4)\): \( 2(-3) - 3(-1) + 6(-4) + D_1 = 0 \) \( -6 + 3 - 24 + D_1 = 0 \) \( -27 + D_1 = 0 \Rightarrow D_1 = 27 \) Уравнение: \( 2x - 3y + 6z + 27 = 0 \)

3) Канонические и параметрические уравнения прямой \(AB\):

Направляющий вектор \( \vec{s} = \vec{AB} = (3; -2; -2) \). Точка \(A = (-4; -1; 1)\). Канонические уравнения: \[ \frac{x + 4}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 1}{-2} \] Параметрические уравнения: \[ \begin{cases} x = -4 + 3t \\ y = -1 - 2t \\ z = 1 - 2t \end{cases} \]

4) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку \(D\) перпендикулярно плоскости \(ABC\):

Направляющий вектор прямой: \( \vec{s} = \vec{n}_{ABC} = (2; -3; 6) \). Точка \(D = (-3; -1; -4)\). Канонические уравнения: \[ \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 4}{6} \]

5) Расстояние от точки \(D\) до плоскости \(ABC\):

Плоскость \(ABC\): \( 2x - 3y + 6z - 1 = 0 \). Точка \(D = (-3; -1; -4)\). Формула расстояния: \( \rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \) \[ \rho = \frac{|2(-3) - 3(-1) + 6(-4) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} \] \[ \rho = \frac{|-6 + 3 - 24 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} \] \[ \rho = \frac{|-28|}{\sqrt{49}} = \frac{28}{7} = 4 \] Расстояние равно 4.