Решение задачи 4 про треугольник: нахождение радиусов

Для решения задачи 4 воспользуемся данными с рисунка и формулами для радиусов вписанной и описанной окружностей. Задача 4 Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC = 18\) (треугольник равнобедренный), \(AC = 16\). Найти: \(r\) (радиус вписанной окружности), \(R\) (радиус описанной окружности). Решение: 1. Проведем высоту \(BK\) к основанию \(AC\). В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому: \[ AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] 2. Из прямоугольного треугольника \(BKC\) по теореме Пифагора найдем высоту \(h = BK\): \[ BK = \sqrt{BC^2 - KC^2} = \sqrt{18^2 - 8^2} = \sqrt{324 - 64} = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65} \] 3. Найдем площадь треугольника \(ABC\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{65} = 16\sqrt{65} \] 4. Найдем радиус вписанной окружности \(r\) по формуле \(r = \frac{S}{p}\), где \(p\) — полупериметр: \[ p = \frac{18 + 18 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26 \] \[ r = \frac{16\sqrt{65}}{26} = \frac{8\sqrt{65}}{13} \] 5. Найдем радиус описанной окружности \(R\). Воспользуемся формулой, указанной в условии (\(R = \frac{a^2}{2h}\) для боковой стороны и высоты к основанию): \[ R = \frac{AB^2}{2 \cdot BK} = \frac{18^2}{2 \cdot 2\sqrt{65}} = \frac{324}{4\sqrt{65}} = \frac{81}{\sqrt{65}} \] Для избавления от иррациональности в знаменателе: \[ R = \frac{81\sqrt{65}}{65} \] Ответ: \(r = \frac{8\sqrt{65}}{13}\), \(R = \frac{81\sqrt{65}}{65}\).