Решение задачи 401: Магнитная стрелка в поле кругового витка

Дано: \( \alpha = 30^\circ \) \( R = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \) \( I = 25 \text{ А} \) \( B_0 = 20 \text{ мкТл} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \) \( \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \) Найти: \( \varphi \) Решение: 1. Магнитная индукция \( B_v \), создаваемая круговым током в его центре, определяется по формуле: \[ B_v = \frac{\mu_0 I}{2R} \] Подставим числовые значения: \[ B_v = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 25}{2 \cdot 0,2} = \frac{100\pi \cdot 10^{-7}}{0,4} = 250\pi \cdot 10^{-7} \approx 7,85 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} = 78,5 \text{ мкТл} \] 2. Магнитная стрелка устанавливается вдоль вектора результирующей магнитной индукции \( \vec{B}_{рез} \), который является векторной суммой горизонтальной составляющей земного поля \( \vec{B}_0 \) и поля витка \( \vec{B}_v \): \[ \vec{B}_{рез} = \vec{B}_0 + \vec{B}_v \] 3. Выберем систему координат на горизонтальной плоскости. Пусть ось \( OX \) направлена вдоль магнитного меридиана (куда изначально указывала стрелка). Тогда вектор \( \vec{B}_0 \) имеет координаты: \[ B_{0x} = B_0, \quad B_{0y} = 0 \] Вектор \( \vec{B}_v \) перпендикулярен плоскости витка. Так как плоскость витка составляет угол \( \alpha \) с меридианом, то нормаль к ней (вектор индукции) составляет угол \( 90^\circ + \alpha \) или \( 90^\circ - \alpha \) с меридианом, в зависимости от направления тока. Рассмотрим два случая направления тока: Случай 1. Вектор \( \vec{B}_v \) отклоняет стрелку в одну сторону. Проекции результирующего вектора: \[ B_x = B_0 + B_v \cos(90^\circ + \alpha) = B_0 - B_v \sin \alpha \] \[ B_y = B_v \sin(90^\circ + \alpha) = B_v \cos \alpha \] Угол \( \theta_1 \), который результирующий вектор составляет с меридианом: \[ \tan \theta_1 = \frac{B_y}{B_x} = \frac{B_v \cos \alpha}{B_0 - B_v \sin \alpha} \] Подставим значения: \[ \tan \theta_1 = \frac{78,5 \cdot \cos 30^\circ}{20 - 78,5 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{78,5 \cdot 0,866}{20 - 78,5 \cdot 0,5} = \frac{67,98}{20 - 39,25} = \frac{67,98}{-19,25} \approx -3,53 \] \[ \theta_1 \approx 105,8^\circ \] Случай 2. Ток течет в противоположном направлении. \[ B_x = B_0 + B_v \cos(90^\circ - \alpha) = B_0 + B_v \sin \alpha \] \[ B_y = -B_v \cos(90^\circ - \alpha) \text{ (или просто используем симметрию для модуля)} \] \[ \tan \theta_2 = \frac{B_v \cos \alpha}{B_0 + B_v \sin \alpha} \] Подставим значения: \[ \tan \theta_2 = \frac{78,5 \cdot 0,866}{20 + 78,5 \cdot 0,5} = \frac{67,98}{20 + 39,25} = \frac{67,98}{59,25} \approx 1,147 \] \[ \theta_2 \approx 48,9^\circ \] Ответ: \( \varphi_1 \approx 105,8^\circ \); \( \varphi_2 \approx 48,9^\circ \).