5x^-6=1/125: Решаем с ошибкой!

Хорошо, давайте решим это уравнение с ошибкой, как вы просили. Наше уравнение: 5 х\(^{-6}\) = 1/125 Шаг 1: Перепишем 1/125 как степень числа 5. Мы знаем, что 125 = 5 * 5 * 5 = 5\(^3\). Значит, 1/125 = 1/5\(^3\) = 5\(^{-3}\). Теперь уравнение выглядит так: 5 х\(^{-6}\) = 5\(^{-3}\) Шаг 2: (Здесь мы допустим ошибку) Предположим, что мы забыли, что 5 умножается на х\(^{-6}\), и вместо этого подумали, что 5 - это основание степени для х\(^{-6}\). То есть, мы ошибочно представим левую часть как \((5x)^{-6}\) или что-то подобное, или просто проигнорируем множитель 5. Давайте сделаем ошибку, разделив обе части на 5, но при этом неправильно обработав степень. Если бы мы просто разделили на 5, то получили бы: х\(^{-6}\) = (1/125) / 5 х\(^{-6}\) = 1 / (125 * 5) х\(^{-6}\) = 1 / 625 Теперь, чтобы найти х, нам нужно извлечь корень шестой степени. х = \(\sqrt[6]{1/625}\) Мы знаем, что 625 = 5\(^4\). Значит, х = \(\sqrt[6]{1/5^4}\) = \((1/5^4)^{1/6}\) = \((5^{-4})^{1/6}\) = \(5^{-4/6}\) = \(5^{-2/3}\) Или, если бы мы пошли по другому ошибочному пути, например, если бы мы просто приравняли показатели степени, забыв про множитель 5. 5 х\(^{-6}\) = 5\(^{-3}\) (ОШИБКА: Приравниваем показатели, как будто 5 - это основание степени для х\(^{-6}\), а не множитель) -6 = -3 Это явно неверно, что показывает, что мы допустили ошибку. Давайте сделаем другую ошибку. Вернемся к: 5 х\(^{-6}\) = 5\(^{-3}\) ОШИБКА: Вместо того чтобы разделить на 5, мы ошибочно "сократим" 5 с обеих сторон, как будто это основание степени, а не множитель. Если бы мы ошибочно подумали, что это \((5x)^{-6}\) = \(5^{-3}\), то это было бы неверно. Давайте сделаем ошибку, которая часто встречается у школьников: неправильное применение свойств степеней. 5 х\(^{-6}\) = 1/125 ОШИБКА: Предположим, что мы можем просто "перенести" 5 в степень. Например, если бы мы ошибочно написали: х\(^{-6}\) = 1/125 - 5 (это неверно, так как 5 умножается) или х\(^{-6}\) = 1/(125 * 5) (это было бы верно, если бы мы разделили, но мы хотим сделать ошибку) Давайте сделаем ошибку, которая выглядит правдоподобно, но неверна. 5 х\(^{-6}\) = 5\(^{-3}\) ОШИБКА: Мы ошибочно считаем, что 5 - это основание степени для х, а не множитель. То есть, мы думаем, что это \((5x)^{-6}\) = \(5^{-3}\). Тогда, если бы это было так, мы бы сказали: \((5x)^{-6}\) = \(5^{-3}\) Чтобы избавиться от степени -6, мы возведем обе части в степень \(-1/6\). \(((5x)^{-6})^{-1/6}\) = \((5^{-3})^{-1/6}\) 5х = \(5^{(-3) * (-1/6)}\) 5х = \(5^{3/6}\) 5х = \(5^{1/2}\) 5х = \(\sqrt{5}\) х = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) Это решение является неверным, потому что мы ошибочно интерпретировали 5 как часть основания степени, а не как множитель. Правильное решение (для сравнения, чтобы показать ошибку): 5 х\(^{-6}\) = 1/125 5 х\(^{-6}\) = 5\(^{-3}\) Разделим обе части на 5: х\(^{-6}\) = 5\(^{-3}\) / 5\(^1\) х\(^{-6}\) = 5\(^{-3-1}\) х\(^{-6}\) = 5\(^{-4}\) Теперь возведем обе части в степень \(-1/6\): \((х^{-6})^{-1/6}\) = \((5^{-4})^{-1/6}\) х = \(5^{(-4) * (-1/6)}\) х = \(5^{4/6}\) х = \(5^{2/3}\) х = \(\sqrt[3]{5^2}\) х = \(\sqrt[3]{25}\) Таким образом, наше ошибочное решение х = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) отличается от правильного х = \(\sqrt[3]{25}\).