Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная: решение

Геометрия, 7 класс. Тема: Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная. 1. Определение перпендикуляра. Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который соединяет данную точку с точкой прямой. Пусть точка \( A \) не лежит на прямой \( a \). Проведем через точку \( A \) прямую \( AB \), такую что \( AB \perp a \), где точка \( B \) лежит на прямой \( a \). Отрезок \( AB \) — перпендикуляр. Точка \( B \) — основание перпендикуляра. 2. Определение наклонной. Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямой, не являющийся перпендикуляром. Пусть \( C \) — любая точка прямой \( a \), отличная от \( B \). Отрезок \( AC \) — наклонная. Точка \( C \) — основание наклонной. Отрезок \( BC \) называется проекцией наклонной \( AC \) на прямую \( a \). 3. Свойства перпендикуляра и наклонной. Теорема: Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же прямой. \[ AB < AC \] Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике \( ABC \) (где угол \( B \) равен \( 90^\circ \)) гипотенуза \( AC \) всегда больше катета \( AB \). 4. Расстояние от точки до прямой. Определение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Если точка лежит на самой прямой, то расстояние до прямой считается равным нулю. 5. Расстояние между параллельными прямыми. Все точки одной из параллельных прямых находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой. Это расстояние называется расстоянием между параллельными прямыми. Пример задачи: Дано: Треугольник \( ABC \), угол \( C = 90^\circ \), \( AC = 6 \) см. Найти: Расстояние от точки \( A \) до прямой \( BC \). Решение: Так как \( AC \perp BC \), то отрезок \( AC \) является перпендикуляром, проведенным из точки \( A \) к прямой \( BC \). Следовательно, расстояние от точки \( A \) до прямой \( BC \) равно длине отрезка \( AC \). Ответ: \( 6 \) см.