Решение задач 700 и 702

Решение задачи №700 Пусть \( n \) — первое (меньшее) натуральное число. Тогда следующие за ним два последовательных числа будут \( n + 1 \) и \( n + 2 \). По условию задачи квадрат меньшего числа на 65 меньше произведения двух остальных. Составим уравнение: \[ (n + 1)(n + 2) - n^2 = 65 \] Раскроем скобки: \[ n^2 + 2n + n + 2 - n^2 = 65 \] Приведем подобные слагаемые: \[ 3n + 2 = 65 \] \[ 3n = 65 - 2 \] \[ 3n = 63 \] \[ n = 63 : 3 \] \[ n = 21 \] Первое число равно 21. Найдем остальные: \[ n + 1 = 21 + 1 = 22 \] \[ n + 2 = 21 + 2 = 23 \] Ответ: 21, 22, 23. Решение задачи №702 Пусть \( x \) см — длина первоначального прямоугольника, а \( y \) см — его ширина. Периметр равен 70 см, значит: \[ 2(x + y) = 70 \] \[ x + y = 35 \] Отсюда выразим ширину через длину: \[ y = 35 - x \] Первоначальная площадь прямоугольника: \[ S_1 = x \cdot y = x(35 - x) \] После изменения сторон: Новая длина: \( x - 5 \) см. Новая ширина: \( y + 5 = (35 - x) + 5 = 40 - x \) см. Новая площадь: \[ S_2 = (x - 5)(40 - x) \] По условию новая площадь больше первоначальной на 50 \( см^2 \): \[ S_2 - S_1 = 50 \] \[ (x - 5)(40 - x) - x(35 - x) = 50 \] Раскроем скобки: \[ 40x - x^2 - 200 + 5x - (35x - x^2) = 50 \] \[ 45x - x^2 - 200 - 35x + x^2 = 50 \] Приведем подобные слагаемые: \[ 10x - 200 = 50 \] \[ 10x = 250 \] \[ x = 25 \] Длина прямоугольника равна 25 см. Найдем ширину: \[ y = 35 - 25 = 10 \] Ответ: длина 25 см, ширина 10 см.