Задача:
1) Начертить равнобедренную трапецию с основаниями \(a\) и \(b\) по размерам: \(a=8\) см; \(b=12\) см; боковые стороны равны 5 см. Найти высоту трапеции и её внутренние углы.
Решение:
1. Построение трапеции:
Начертим равнобедренную трапецию ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание.
- AD = 12 см
- BC = 8 см
- AB = CD = 5 см (боковые стороны)
2. Нахождение высоты трапеции:
Опустим высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, то треугольники ABH и DCK равны.
Длина отрезка AH (и KD) находится по формуле:
\[AH = \frac{AD - BC}{2}\] \[AH = \frac{12 \text{ см} - 8 \text{ см}}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}\]Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём:
- Гипотенуза AB = 5 см
- Катет AH = 2 см
- Катет BH - это высота трапеции \(h\)
По теореме Пифагора:
\[AB^2 = AH^2 + BH^2\] \[5^2 = 2^2 + h^2\] \[25 = 4 + h^2\] \[h^2 = 25 - 4\] \[h^2 = 21\] \[h = \sqrt{21} \text{ см}\]Приблизительное значение высоты: \(h \approx 4.58\) см.
3. Нахождение внутренних углов трапеции:
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. То есть, \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Мы можем найти \(\cos(\angle A)\) или \(\sin(\angle A)\).
\[\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}\] \[\cos(\angle A) = \frac{2}{5} = 0.4\]Тогда \(\angle A = \arccos(0.4)\).
Используя калькулятор, находим:
\[\angle A \approx 66.42^\circ\]Следовательно, \(\angle D \approx 66.42^\circ\).
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, в трапеции равна 180°.
\[\angle A + \angle B = 180^\circ\] \[\angle B = 180^\circ - \angle A\] \[\angle B = 180^\circ - 66.42^\circ\] \[\angle B \approx 113.58^\circ\]Следовательно, \(\angle C \approx 113.58^\circ\).
Ответ:
- Высота трапеции: \(h = \sqrt{21}\) см (приблизительно 4.58 см).
- Внутренние углы трапеции:
- \(\angle A \approx 66.42^\circ\)
- \(\angle D \approx 66.42^\circ\)
- \(\angle B \approx 113.58^\circ\)
- \(\angle C \approx 113.58^\circ\)