Дано:
Равнобедренная трапеция ABCD
Основания: \(BC = a = 8\) см, \(AD = b = 12\) см
Боковые стороны: \(AB = CD = 5\) см
Найти:
Высоту трапеции \(h\)
Внутренние углы трапеции (\(\angle A, \angle B, \angle C, \angle D\))
Решение:
1. Опустим высоты BH и CK на основание AD. Так как трапеция равнобедренная, то \(AH = KD\).
\[AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}\]2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:
\[AB^2 = AH^2 + BH^2\] \[5^2 = 2^2 + h^2\] \[25 = 4 + h^2\] \[h^2 = 21\] \[h = \sqrt{21} \text{ см}\]3. Найдем углы. В прямоугольном треугольнике ABH:
\[\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{5} = 0.4\] \[\angle A = \arccos(0.4) \approx 66.42^\circ\]Так как трапеция равнобедренная, \(\angle D = \angle A \approx 66.42^\circ\).
4. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°:
\[\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 66.42^\circ \approx 113.58^\circ\]Так как трапеция равнобедренная, \(\angle C = \angle B \approx 113.58^\circ\).
Ответ:
Высота трапеции \(h = \sqrt{21}\) см.
Внутренние углы: \(\angle A \approx 66.42^\circ\), \(\angle D \approx 66.42^\circ\), \(\angle B \approx 113.58^\circ\), \(\angle C \approx 113.58^\circ\).