Задача:
1) Начертить равнобедренную трапецию с основаниями \(a = 8\) см и \(b = 12\) см; боковые стороны равны \(5\) см. Найти высоту трапеции и её внутренние углы.
2) №№ (видимо, продолжение задачи, но текст обрезан. Решим только первую часть).
Решение:
1. Построение равнобедренной трапеции.
Для построения трапеции нам понадобятся линейка и карандаш.
- Начертим нижнее основание \(AD = 12\) см.
- Отложим от концов нижнего основания отрезки, чтобы найти точки для верхнего основания. В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Найдем длину этих отрезков: \[x = \frac{b - a}{2} = \frac{12 \text{ см} - 8 \text{ см}}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}\]
- Отложим от точки \(A\) вправо \(2\) см и поставим точку \(A'\). От точки \(D\) влево отложим \(2\) см и поставим точку \(D'\).
- От точек \(A'\) и \(D'\) восстановим перпендикуляры к основанию \(AD\). Это будут высоты трапеции.
- Отложим на этих перпендикулярах высоту трапеции (которую мы сейчас найдем) и соединим полученные точки. Это будет верхнее основание \(BC = 8\) см.
- Соединим точки \(A\) с \(B\) и \(D\) с \(C\). Это будут боковые стороны, равные \(5\) см.
2. Нахождение высоты трапеции.
Обозначим трапецию \(ABCD\), где \(AD\) – нижнее основание, \(BC\) – верхнее основание. Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) из вершин \(B\) и \(C\) к основанию \(AD\).
В равнобедренной трапеции \(AB = CD = 5\) см.
Основания: \(AD = b = 12\) см, \(BC = a = 8\) см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\).
Длина отрезка \(AH\) (проекция боковой стороны на большее основание) находится по формуле:
\[AH = \frac{AD - BC}{2}\] \[AH = \frac{12 \text{ см} - 8 \text{ см}}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}\]Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABH\), найдем высоту \(BH\).
По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\)
Отсюда, \(BH^2 = AB^2 - AH^2\)
Подставим известные значения:
\[BH^2 = 5^2 - 2^2\] \[BH^2 = 25 - 4\] \[BH^2 = 21\] \[BH = \sqrt{21} \text{ см}\]Итак, высота трапеции равна \(\sqrt{21}\) см.
3. Нахождение внутренних углов трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. То есть, \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\).
Мы можем найти косинус угла \(A\):
\[\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}\] \[\cos(\angle A) = \frac{2}{5}\]Чтобы найти сам угол \(A\), используем арккосинус:
\[\angle A = \arccos\left(\frac{2}{5}\right)\]Используя калькулятор, найдем приближенное значение:
\[\angle A \approx 66.42^\circ\]Так как \(\angle A = \angle D\), то \(\angle D \approx 66.42^\circ\).
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \(180^\circ\). То есть, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
Отсюда, \(\angle B = 180^\circ - \angle A\)
\[\angle B = 180^\circ - \arccos\left(\frac{2}{5}\right)\] \[\angle B \approx 180^\circ - 66.42^\circ\] \[\angle B \approx 113.58^\circ\]Так как \(\angle B = \angle C\), то \(\angle C \approx 113.58^\circ\).
Проверка: Сумма всех углов трапеции должна быть \(360^\circ\).
\[2 \cdot 66.42^\circ + 2 \cdot 113.58^\circ = 132.84^\circ + 227.16^\circ = 360^\circ\]Все верно.
Ответ:
Высота трапеции равна \(\sqrt{21}\) см.
Внутренние углы трапеции: \(\angle A = \angle D = \arccos\left(\frac{2}{5}\right) \approx 66.42^\circ\), \(\angle B = \angle C = 180^\circ - \arccos\left(\frac{2}{5}\right) \approx 113.58^\circ\).