Задача:
1) Начертить равнобедренную трапецию с основаниями \(a = 8\) см и \(b = 12\) см; боковые стороны равны \(5\) см. Найти высоту трапеции и её внутренние углы.
Решение:
1. Построение равнобедренной трапеции.
Для построения трапеции нам понадобятся линейка и карандаш.
- Начертим нижнее основание \(AD = 12\) см.
- Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) из вершин \(B\) и \(C\) к основанию \(AD\).
- В равнобедренной трапеции отрезки \(AH\) и \(KD\) равны. Найдем их длину: \[AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 \text{ см} - 8 \text{ см}}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}\]
- Отложим от точки \(A\) вправо \(2\) см и поставим точку \(H\). От точки \(D\) влево отложим \(2\) см и поставим точку \(K\).
- Теперь у нас есть точки \(H\) и \(K\). От этих точек восстановим перпендикуляры к основанию \(AD\).
- На этих перпендикулярах отложим высоту трапеции (которую мы сейчас найдем).
- Соединим полученные точки \(B\) и \(C\). Это будет верхнее основание \(BC = 8\) см.
- Соединим точки \(A\) с \(B\) и \(D\) с \(C\). Это будут боковые стороны, равные \(5\) см.
2. Нахождение высоты трапеции.
Обозначим трапецию \(ABCD\), где \(AD\) – нижнее основание (\(12\) см), \(BC\) – верхнее основание (\(8\) см). Боковые стороны \(AB = CD = 5\) см.
Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) к основанию \(AD\).
Мы уже нашли, что \(AH = 2\) см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). В нем:
- Гипотенуза \(AB = 5\) см (боковая сторона).
- Катет \(AH = 2\) см (часть нижнего основания).
- Катет \(BH\) – это высота трапеции.
По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\)
Отсюда, \(BH^2 = AB^2 - AH^2\)
Подставим известные значения:
\[BH^2 = 5^2 - 2^2\] \[BH^2 = 25 - 4\] \[BH^2 = 21\] \[BH = \sqrt{21} \text{ см}\]Итак, высота трапеции равна \(\sqrt{21}\) см.
3. Нахождение внутренних углов трапеции.
В 8 классе углы обычно выражают через их значения, если это "хорошие" углы (например, \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)), или оставляют в виде, который можно найти с помощью таблицы Брадиса или калькулятора, если это разрешено. Если же требуется точное значение без использования тригонометрических таблиц, то это может быть сложнее. Однако, если задача подразумевает, что углы не являются "табличными", то их можно оставить в виде, который показывает, как их найти.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\).
Мы знаем, что \(AH = 2\) см и \(AB = 5\) см.
Если бы это был "табличный" треугольник, например, с углами \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\), то соотношения сторон были бы \(1: \sqrt{3}: 2\). Здесь такого нет.
Если бы это был треугольник с углом \(60^\circ\), то катет, прилежащий к этому углу, был бы равен половине гипотенузы. Здесь \(AH = 2\), а \(AB = 5\), \(2 \neq 5/2\), значит, \(\angle A \neq 60^\circ\).
Если бы это был треугольник с углом \(30^\circ\), то катет, лежащий напротив этого угла, был бы равен половине гипотенузы. Здесь \(BH = \sqrt{21}\), \(AB = 5\), \(\sqrt{21} \neq 5/2\), значит, \(\angle A \neq 30^\circ\).
В 8 классе, если не изучались тригонометрические функции, то углы обычно не просят находить с точностью до градуса, если они не являются стандартными. Однако, можно описать, как их найти.
Угол \(A\) (и \(D\)) – это угол в прямоугольном треугольнике \(ABH\), прилежащий к катету \(AH=2\) и гипотенузе \(AB=5\).
Угол \(B\) (и \(C\)) – это угол в прямоугольном треугольнике \(ABH\), прилежащий к катету \(BH=\sqrt{21}\) и гипотенузе \(AB=5\).
Также мы знаем, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\). То есть, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
Если в 8 классе уже вводятся понятия синуса, косинуса и тангенса, но без использования аркфункций, то можно записать так:
Для угла \(A\):
\[\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{5}\]Для угла \(B\) (в треугольнике \(ABH\) это \(\angle ABH\)):
\[\sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{21}}{5}\]Или, если говорить про угол \(\angle B\) трапеции, то \(\angle B = 180^\circ - \angle A\).
Если же тригонометрия еще не изучалась, то углы можно оставить в описательном виде, или же задача подразумевает, что нужно просто указать, что они не являются "табличными". В контексте 8 класса, без тригонометрических таблиц или калькулятора, точное числовое значение углов не требуется, если они не являются \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\).
Поэтому, для 8 класса, наиболее корректным будет указать, что углы не являются стандартными, и их можно найти, используя соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, если это требуется в дальнейшем.
Ответ:
Высота трапеции равна \(\sqrt{21}\) см.
Внутренние углы трапеции: \(\angle A\) и \(\angle D\) – это углы, косинус которых равен \(\frac{2}{5}\). \(\angle B\) и \(\angle C\) – это углы, равные \(180^\circ - \angle A\).
Если требуется числовое значение, то его можно найти с помощью калькулятора или таблиц, если это разрешено учителем.