Функция распределения непрерывной случайной величины: решение и пример

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Заголовок: Функция распределения непрерывной случайной величины Для непрерывной величины вероятность того, что она примет конкретное значение, равна 0. Это связано с тем, что непрерывные величины могут принимать бесконечное количество значений в любом промежутке. Вместо этого, вероятность определяется на интервале значений. Функция распределения показывает, с какой вероятностью случайная величина примет значение, меньшее или равное данному числу. Обозначается она как \(F(x)\) и выражается формулой: \[F(x) = P(X \le x),\] где \(P(X \le x)\) — вероятность, что значение случайной величины \(X\) не превзойдёт \(x\). Пример: Пусть ученик тратит на решение задачи по математике случайное время, равномерно распределенное на промежутке от 10 до 20 минут. Тогда: * \(F(5) = 0\), так как вероятность того, что ученик решит задачу не более чем за 5 минут, равна нулю (поскольку минимальное время 10 минут). * \(F(10) = 0\), так как вероятность того, что ученик решит задачу не более чем за 10 минут, равна нулю (поскольку время начинается строго от 10 минут, а вероятность конкретного значения для непрерывной величины равна 0). * \(F(20) = 1\), так как вероятность того, что ученик решит задачу не более чем за 20 минут, равна единице (поскольку максимальное время 20 минут, и он точно уложится в это время). * \(F(30) = 1\), так как вероятность того, что ученик решит задачу не более чем за 30 минут, равна единице (поскольку он точно уложится в 20 минут, а 30 минут — это ещё больше). * \(F(15) = 0,5\), так как вероятность того, что ученик решит задачу не более чем за 15 минут, равна 0,5, потому что величина распределена равномерно на промежутке [10; 20]. (Пояснение для \(F(15)\): Длина интервала [10; 20] равна \(20 - 10 = 10\) минут. Интервал от 10 до 15 минут имеет длину \(15 - 10 = 5\) минут. Вероятность равна отношению длин интервалов: \(5 / 10 = 0,5\)). Изучите текст о функции распределения и решите задачу. Задача: Пусть поездка на работу занимает случайное время, равномерно распределённое в пределах от 30 до 50 минут. Чему равно \(F(60)\)? Решение: Обозначим случайную величину времени поездки на работу как \(X\). Согласно условию, время \(X\) равномерно распределено на промежутке от 30 до 50 минут. Это означает, что \(X \in [30; 50]\). Нам нужно найти \(F(60)\). По определению функции распределения: \[F(x) = P(X \le x)\] Значит, \(F(60)\) — это вероятность того, что поездка на работу займёт время, которое не превзойдёт 60 минут, то есть \(P(X \le 60)\). Поскольку минимальное время поездки составляет 30 минут, а максимальное — 50 минут, любая поездка гарантированно займёт время, которое будет меньше или равно 50 минутам. Если поездка точно займёт не более 50 минут, то она тем более займёт не более 60 минут. Таким образом, событие \(X \le 60\) является достоверным, так как все возможные значения \(X\) (от 30 до 50) удовлетворяют условию \(X \le 60\). Вероятность достоверного события всегда равна 1. Следовательно, \(F(60) = 1\). Ответ: \(F(60) = 1\)