Плотность распределения вероятностей: Решение задачи

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Заголовок: Плотность распределения Термин "плотность" встречается, например, в физике. Если вещество неоднородно, то плотность в разных местах различна, и можно сказать, что масса «сосредоточена» в том месте, где плотность выше. Плотность распределения — это функция, которая описывает, как распределены вероятности для непрерывной случайной величины. Она показывает, как «сосредоточена» вероятность на разных участках оси возможных значений. Плотность распределения обозначается как \(p(x)\). \[p(x) = F'(x),\] где \(F(x)\) — функция распределения случайной величины. Пример: Если вы измеряете время ожидания автобуса, которое распределено равномерно в интервале от 0 до 10 минут, то функция плотности будет постоянной в этом интервале и равна \(\frac{1}{10}\). Это значит, что вероятность того, что вы будете ждать автобус в течение какого-то промежутка времени, зависит от длины этого промежутка. Изучите текст о плотности распределения и ответьте на вопрос. Вопрос: Выберите верное утверждение о плотности распределения. Варианты ответов: 1. Плотность распределения не может быть отрицательной. 2. Плотность распределения в любой точке ненулевая. 3. Плотность распределения применима к дискретным случайным величинам. 4. Вероятность того, что случайная величина примет точное значение, равна значению функции плотности в этой точке. Решение: Давайте проанализируем каждый вариант ответа, опираясь на предоставленный текст и общие свойства плотности распределения. 1. **Плотность распределения не может быть отрицательной.** В тексте сказано, что плотность показывает, как «сосредоточена» вероятность. Вероятность — это всегда неотрицательное число. Плотность распределения, будучи производной от неубывающей функции распределения, также не может быть отрицательной. Это одно из основных свойств функции плотности вероятности. Это утверждение **верное**. 2. **Плотность распределения в любой точке ненулевая.** В примере с ожиданием автобуса плотность равна \(\frac{1}{10}\) в интервале от 0 до 10 минут. Но вне этого интервала (например, при времени ожидания -5 минут или 15 минут) плотность будет равна 0, так как вероятность таких событий равна нулю. Это утверждение **неверное**. 3. **Плотность распределения применима к дискретным случайным величинам.** В тексте чётко указано: "Плотность распределения — это функция, которая описывает, как распределены вероятности **для непрерывной случайной величины**". Для дискретных случайных величин используется функция вероятности (или функция массы вероятности), а не плотность распределения. Это утверждение **неверное**. 4. **Вероятность того, что случайная величина примет точное значение, равна значению функции плотности в этой точке.** В начале текста сказано: "Для непрерывной величины вероятность того, что она примет конкретное значение, равна 0." Функция плотности \(p(x)\) сама по себе не является вероятностью конкретного значения. Вероятность попадания в интервал вычисляется как интеграл от функции плотности по этому интервалу. Это утверждение **неверное**. Таким образом, единственное верное утверждение — это первое. Ответ: Верное утверждение: **Плотность распределения не может быть отрицательной.**