Свойства функции распределения вероятностей: Решение

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Заголовок: Свойства функции распределения вероятностей Функция распределения вероятностей для случайной величины \(F(x)\) обладает несколькими важными свойствами. 1. **Ограниченность:** Значения функции распределения всегда находятся в пределах от 0 до 1: \[0 \le F(x) \le 1.\] Это связано с тем, что вероятность не может быть отрицательной и не может превышать 1. 2. **Монотонность:** Функция распределения всегда возрастает или остаётся на одном уровне, то есть если \(a < b\), то: \[F(a) \le F(b).\] Это означает, что вероятность встретить значение меньшее или равное \(b\), всегда больше или равна вероятности встретить значение меньшее или равное \(a\). 3. **Непрерывность:** Функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна. Это означает, что при стремлении \(x \to x_0\) выполнено \(F(x) \to F(x_0)\). При этом для дискретной случайной величины функция распределения будет скачкообразной, то есть не будет непрерывной. Изучите текст о свойствах функции распределения и ответьте на вопрос. Вопрос: Какие из утверждений являются верными? Варианты утверждений: 1. Значение функции распределения в конкретной точке может превышать 1. 2. Функция распределения всегда монотонно неубывающая и может принимать значения от 0 до 1. 3. Функция распределения всегда симметрична относительно математического ожидания случайной величины. 4. Для любой случайной величины, функция распределения всегда принимает значение 0 при \(x\) меньше минимального возможного значения случайной величины. Решение: Давайте проанализируем каждое утверждение, опираясь на предоставленный текст о свойствах функции распределения. 1. **Значение функции распределения в конкретной точке может превышать 1.** Согласно свойству "Ограниченность", значения функции распределения всегда находятся в пределах от 0 до 1: \(0 \le F(x) \le 1\). Это означает, что \(F(x)\) не может превышать 1. Это утверждение **неверное**. 2. **Функция распределения всегда монотонно неубывающая и может принимать значения от 0 до 1.** Согласно свойству "Монотонность", функция распределения всегда возрастает или остаётся на одном уровне (то есть монотонно неубывающая). Согласно свойству "Ограниченность", значения функции распределения всегда находятся в пределах от 0 до 1. Это утверждение **верное**. 3. **Функция распределения всегда симметрична относительно математического ожидания случайной величины.** В предоставленном тексте нет информации о симметричности функции распределения. Симметричность — это свойство некоторых конкретных распределений (например, нормального), но не всех функций распределения в целом. Это утверждение **неверное**. 4. **Для любой случайной величины, функция распределения всегда принимает значение 0 при \(x\) меньше минимального возможного значения случайной величины.** Функция распределения \(F(x) = P(X \le x)\). Если \(x\) меньше минимального возможного значения случайной величины \(X\), то событие \(X \le x\) невозможно. Вероятность невозможного события равна 0. Например, если время ожидания автобуса от 0 до 10 минут, то \(F(-5) = P(X \le -5) = 0\). Это утверждение **верное**. Итого, верными являются два утверждения. Ответ: Верные утверждения: * **Функция распределения всегда монотонно неубывающая и может принимать значения от 0 до 1.** * **Для любой случайной величины, функция распределения всегда принимает значение 0 при \(x\) меньше минимального возможного значения случайной величины.**