Решение задачи: Гармонические колебания осциллятора

Ниже представлено подробное решение задачи с пояснениями каждого шага и используемых формул. Запись адаптирована для школьной или студенческой тетради. Задача 1 Дано: Угол наклона плоскости — \(\alpha\) Вес груза — \(P\) Статическое удлинение пружины — \(\lambda\) Начальное растяжение — \(3\lambda\) Начальная скорость — \(v_0 = 0\) _________________ Найти: закон колебаний \(x(t)\) Решение: 1. Определение жесткости пружины \(c\). Когда груз просто висит (или лежит) на пружине в покое, это называется статическим равновесием. В этом состоянии сила упругости пружины \(F_{up}\) уравновешивает проекцию силы тяжести на ось движения. Формула силы упругости (закон Гука): \(F_{up} = c \cdot \Delta l\). Проекция веса на наклонную плоскость: \(P \sin \alpha\). В равновесии: \[ c \cdot \lambda = P \sin \alpha \Rightarrow c = \frac{P \sin \alpha}{\lambda} \] 2. Составление дифференциального уравнения движения. Выберем начало координат \(O\) в положении статического равновесия. Направим ось \(x\) вниз вдоль плоскости. Согласно второму закону Ньютона (\(ma = \sum F\)): \[ m \ddot{x} = P \sin \alpha - F_{up} \] Так как мы считаем \(x\) от положения равновесия, где пружина уже растянута на \(\lambda\), то общее растяжение равно \((\lambda + x)\). \[ m \ddot{x} = P \sin \alpha - c(\lambda + x) \] Раскроем скобки: \[ m \ddot{x} = P \sin \alpha - c\lambda - cx \] Так как из первого пункта \(c\lambda = P \sin \alpha\), эти слагаемые сокращаются: \[ m \ddot{x} = -cx \quad \text{или} \quad m \ddot{x} + cx = 0 \] 3. Нахождение параметров колебаний. Разделим уравнение на массу \(m\). Учитывая, что \(m = \frac{P}{g}\): \[ \ddot{x} + \frac{c}{m} x = 0 \] Подставим значение \(c = \frac{P \sin \alpha}{\lambda}\): \[ \frac{c}{m} = \frac{P \sin \alpha}{\lambda} \cdot \frac{g}{P} = \frac{g \sin \alpha}{\lambda} \] Обозначим квадрат циклической частоты как \(k^2\): \[ k^2 = \frac{g \sin \alpha}{\lambda} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{g \sin \alpha}{\lambda}} \] 4. Общее решение и начальные условия. Уравнение \(\ddot{x} + k^2 x = 0\) описывает гармонические колебания. Его общее решение: \[ x(t) = C_1 \cos(kt) + C_2 \sin(kt) \] Для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\) используем начальные условия при \(t = 0\): - По условию, пружина растянута на \(3\lambda\) от ненапряженного состояния. Но наше начало координат \(x=0\) находится в точке статического равновесия (где пружина уже растянута на \(\lambda\)). Значит, начальное отклонение: \[ x(0) = 3\lambda - \lambda = 2\lambda \] - Груз отпущен без начальной скорости: \[ \dot{x}(0) = 0 \] Подставляем \(t=0\) в уравнение \(x(t)\): \[ x(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \cdot 1 + 0 = 2\lambda \Rightarrow C_1 = 2\lambda \] Находим производную (скорость): \[ \dot{x}(t) = -C_1 k \sin(kt) + C_2 k \cos(kt) \] \[ \dot{x}(0) = 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \] 5. Окончательный вид уравнения. Подставляем найденные константы и частоту в общее решение: \[ x(t) = 2\lambda \cos\left( \sqrt{\frac{g \sin \alpha}{\lambda}} \cdot t \right) \] Ответ: \(x = 2\lambda \cos\left( \sqrt{\frac{g \sin \alpha}{\lambda}} \cdot t \right)\).