Решение задачи 687 по алгебре 8 класс

Для решения задачи №687 нам необходимо привести каждое уравнение системы к виду \(y = kx + b\). Количество решений системы линейных уравнений зависит от коэффициентов: 1. Если \(k_1 \neq k_2\), то прямые пересекаются и система имеет одно решение. 2. Если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\), то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений. 3. Если \(k_1 = k_2\), но \(b_1 \neq b_2\), то прямые параллельны и система не имеет решений. а) \[ \begin{cases} 2x - 6y = 10 \\ 8y = 7 - 2x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -6y = -2x + 10 \\ y = -0,25x + 0,875 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \\ y = -0,25x + 0,875 \end{cases} \] Так как \(k_1 = \frac{1}{3}\) и \(k_2 = -0,25\), коэффициенты не равны (\(k_1 \neq k_2\)). Ответ: система имеет одно решение. б) \[ \begin{cases} 3x - 12 = 8y \\ 1,5x - 4y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \frac{3}{8}x - 1,5 \\ -4y = -1,5x + 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 0,375x - 1,5 \\ y = 0,375x - 1,5 \end{cases} \] Так как уравнения идентичны (\(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\)), прямые совпадают. Ответ: система имеет бесконечно много решений. в) \[ \begin{cases} y = 4x \\ x - 8 = -6y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 4x \\ y = -\frac{1}{6}x + \frac{8}{6} \end{cases} \] Коэффициенты \(k_1 = 4\) и \(k_2 = -\frac{1}{6}\) различны. Ответ: система имеет одно решение. г) \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x + 5 \\ -2y = -3x + 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x + 5 \\ y = 1,5x - 4 \end{cases} \] Коэффициенты \(k_1 = -1\) и \(k_2 = 1,5\) различны. Ответ: система имеет одно решение. д) \[ \begin{cases} 3 - 3y = 4x \\ -8x = 6y - 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3y = 4x - 3 \\ -6y = 8x - 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -\frac{4}{3}x + 1 \\ y = -\frac{8}{6}x + 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -\frac{4}{3}x + 1 \\ y = -\frac{4}{3}x + 1 \end{cases} \] Уравнения совпали. Ответ: система имеет бесконечно много решений. е) \[ \begin{cases} x + 4y = 5 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4y = -x + 5 \\ y = x + 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -0,25x + 1,25 \\ y = x + 3 \end{cases} \] Коэффициенты \(k_1 = -0,25\) и \(k_2 = 1\) различны. Ответ: система имеет одно решение.