Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса — это универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Его суть заключается в последовательном исключении переменных для приведения системы к ступенчатому (треугольному) виду. Ниже приведено описание метода и пример решения, который удобно переписать в тетрадь. Метод Гаусса состоит из двух этапов: 1. Прямой ход: преобразование системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. 2. Обратный ход: нахождение значений переменных, начиная с последней. Пример решения системы уравнений: \[ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 9 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 7 \end{cases} \] Решение: Запишем расширенную матрицу системы: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 9 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 & 7 \end{array} \right) \] Для удобства вычислений поменяем первую и вторую строки местами: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & 9 \\ 3 & 2 & 2 & 7 \end{array} \right) \] Прямой ход: Обнулим элементы под первой единицей в первом столбце. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -3 & 5 \\ 0 & 5 & -1 & 1 \end{array} \right) \] Теперь обнулим элемент под пятеркой во втором столбце. Для этого из третьей строки вычтем вторую: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{array} \right) \] Обратный ход: Полученная матрица соответствует системе: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ 5x_2 - 3x_3 = 5 \\ 2x_3 = -4 \end{cases} \] Из третьего уравнения находим \(x_3\): \[ 2x_3 = -4 \implies x_3 = -2 \] Подставляем \(x_3\) во второе уравнение: \[ 5x_2 - 3 \cdot (-2) = 5 \] \[ 5x_2 + 6 = 5 \] \[ 5x_2 = -1 \implies x_2 = -0,2 \] Подставляем \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение: \[ x_1 - (-0,2) + (-2) = 2 \] \[ x_1 + 0,2 - 2 = 2 \] \[ x_1 - 1,8 = 2 \implies x_1 = 3,8 \] Ответ: \(x_1 = 3,8\); \(x_2 = -0,2\); \(x_3 = -2\).