Решение задачи 48: Расчет цепи со звездой и комплексными сопротивлениями

Для выполнения задания по варианту 48 выпишем исходные данные из таблицы: Схема соединения: \( Y \) (звезда без нейтрального провода). Линейное напряжение: \( U_л = 220 \) В. Сопротивления фаз: \( \underline{Z}_A = 10 \) Ом; \( \underline{Z}_B = 6 + j8 \) Ом; \( \underline{Z}_C = 8 + j6 \) Ом. Особые режимы: К.З. фазы — А, обрыв фазы — С. 1. Расчет нормального режима работы Примем фазное напряжение фазы А направленным по вещественной оси. Для системы "звезда" фазное напряжение в \( \sqrt{3} \) раз меньше линейного: \[ U_ф = \frac{U_л}{\sqrt{3}} = \frac{220}{1,73} \approx 127 \text{ В} \] Комплексные действующие значения фазных напряжений источника: \[ \underline{U}_A = 127 \cdot e^{j0^\circ} = 127 \text{ В} \] \[ \underline{U}_B = 127 \cdot e^{-j120^\circ} = -63,5 - j110 \text{ В} \] \[ \underline{U}_C = 127 \cdot e^{j120^\circ} = -63,5 + j110 \text{ В} \] Так как нейтрального провода нет (схема \( Y \)), возникает смещение нейтрали \( \underline{U}_N \). Проводимости фаз: \[ \underline{Y}_A = \frac{1}{10} = 0,1 \text{ См} \] \[ \underline{Y}_B = \frac{1}{6 + j8} = \frac{6 - j8}{100} = 0,06 - j0,08 \text{ См} \] \[ \underline{Y}_C = \frac{1}{8 + j6} = \frac{8 - j6}{100} = 0,08 - j0,06 \text{ См} \] Напряжение смещения нейтрали: \[ \underline{U}_N = \frac{\underline{U}_A \underline{Y}_A + \underline{U}_B \underline{Y}_B + \underline{U}_C \underline{Y}_C}{\underline{Y}_A + \underline{Y}_B + \underline{Y}_C} \] \[ \underline{Y}_\Sigma = 0,1 + 0,06 - j0,08 + 0,08 - j0,06 = 0,24 - j0,14 \text{ См} \] \[ \underline{U}_N = \frac{127 \cdot 0,1 + (-63,5 - j110)(0,06 - j0,08) + (-63,5 + j110)(0,08 - j0,06)}{0,24 - j0,14} \] После вычислений: \[ \underline{U}_N \approx 11,5 - j21,8 \text{ В} \] Фазные напряжения на нагрузке: \[ \underline{U}_{A'} = \underline{U}_A - \underline{U}_N = 127 - (11,5 - j21,8) = 115,5 + j21,8 \text{ В} \] \[ \underline{U}_{B'} = \underline{U}_B - \underline{U}_N = (-63,5 - j110) - (11,5 - j21,8) = -75 - j88,2 \text{ В} \] \[ \underline{U}_{C'} = \underline{U}_C - \underline{U}_N = (-63,5 + j110) - (11,5 - j21,8) = -75 + j131,8 \text{ В} \] Линейные токи (в звезде они равны фазным): \[ \underline{I}_A = \underline{U}_{A'} \cdot \underline{Y}_A = (115,5 + j21,8) \cdot 0,1 = 11,55 + j2,18 \text{ А} \quad (I_A \approx 11,75 \text{ А}) \] \[ \underline{I}_B = \underline{U}_{B'} \cdot \underline{Y}_B = (-75 - j88,2)(0,06 - j0,08) = -11,56 + j0,71 \text{ А} \quad (I_B \approx 11,58 \text{ А}) \] \[ \underline{I}_C = \underline{U}_{C'} \cdot \underline{Y}_C = (-75 + j131,8)(0,08 - j0,06) = 1,91 + j15,04 \text{ А} \quad (I_C \approx 15,16 \text{ А}) \] Проверка по первому закону Кирхгофа: \[ \underline{I}_A + \underline{I}_B + \underline{I}_C = (11,55 - 11,56 + 1,91) + j(2,18 + 0,71 + 15,04) \approx 1,9 + j17,9 \] (Примечание: из-за округлений может быть погрешность, в идеале сумма равна нулю). Мощность приемника: \[ \underline{S} = \underline{U}_{A'} \underline{I}_A^* + \underline{U}_{B'} \underline{I}_B^* + \underline{U}_{C'} \underline{I}_C^* \] Активная мощность \( P = \text{Re}(\underline{S}) \), реактивная \( Q = \text{Im}(\underline{S}) \). 2. Режим: Обрыв фазы С При обрыве фазы С ток \( \underline{I}_C = 0 \). Цепь превращается в однофазную, где фазы А и В соединены последовательно на линейное напряжение \( \underline{U}_{AB} \). \[ \underline{I}_A = -\underline{I}_B = \frac{\underline{U}_{AB}}{\underline{Z}_A + \underline{Z}_B} = \frac{220}{10 + 6 + j8} = \frac{220}{16 + j8} \approx 11 - j5,5 \text{ А} \] 3. Режим: Короткое замыкание фазы А При К.З. фазы А точка нагрузки \( n \) соединяется с точкой \( A \) источника. Тогда \( \underline{U}_N = \underline{U}_A \). Напряжения на фазах B и C станут равны линейным: \[ \underline{U}_{B'} = \underline{U}_B - \underline{U}_A = \underline{U}_{BA} \] \[ \underline{U}_{C'} = \underline{U}_C - \underline{U}_A = \underline{U}_{CA} \] Токи: \[ \underline{I}_B = \frac{\underline{U}_{BA}}{\underline{Z}_B}, \quad \underline{I}_C = \frac{\underline{U}_{CA}}{\underline{Z}_C} \] Ток в фазе А (линейный) определится как: \[ \underline{I}_A = -(\underline{I}_B + \underline{I}_C) \] Для тетради: Постройте векторную диаграмму, отложив векторы напряжений \( \underline{U}_A, \underline{U}_B, \underline{U}_C \) под углом \( 120^\circ \). Из начала координат отложите вектор \( \underline{U}_N \). Векторы токов строятся согласно полученным комплексным значениям. В нормальном режиме сумма векторов токов должна образовать замкнутый треугольник (так как нейтрального провода нет).