Арифметические свойства непрерывных функций

Арифметические свойства непрерывных функций Пусть функции \( f(x) \) и \( g(x) \) определены в некоторой окрестности точки \( x_0 \) и являются непрерывными в этой точке. Это означает, что: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \] Тогда справедливы следующие теоремы: 1. Непрерывность суммы: Сумма двух непрерывных в точке \( x_0 \) функций есть функция, непрерывная в этой точке: \[ \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = f(x_0) + g(x_0) \] 2. Непрерывность разности: Разность двух непрерывных в точке \( x_0 \) функций есть функция, непрерывная в этой точке: \[ \lim_{x \to x_0} (f(x) - g(x)) = f(x_0) - g(x_0) \] 3. Непрерывность произведения: Произведение двух непрерывных в точке \( x_0 \) функций есть функция, непрерывная в этой точке: \[ \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = f(x_0) \cdot g(x_0) \] Следствие: постоянный множитель \( k \) можно выносить за знак непрерывной функции: \[ \lim_{x \to x_0} (k \cdot f(x)) = k \cdot f(x_0) \] 4. Непрерывность частного: Частное двух непрерывных в точке \( x_0 \) функций есть функция, непрерывная в этой точке, при условии, что знаменатель не равен нулю в этой точке: \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)}, \text{ где } g(x_0) \neq 0 \] Данные свойства позволяют делать вывод о непрерывности сложных выражений (многочленов, рациональных дробей), основываясь на непрерывности элементарных функций. Например, любой многочлен непрерывен в каждой точке своей области определения.