Задачи по фармации (продолжение)
Задача 11. Скорость изменения концентрации (производная)
Концентрация лекарства в крови пациента со временем \( t \) (в часах) описывается функцией \( C(t) = 10t \cdot e^{-0.5t} \). Найдите скорость изменения концентрации через 1 час после введения лекарства.
Решение:
Для нахождения скорости изменения концентрации нужно взять производную функции \( C(t) \) по \( t \).
\[ C'(t) = (10t \cdot e^{-0.5t})' \]
Используем правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = 10t \) и \( v = e^{-0.5t} \).
\[ u' = 10 \]
\[ v' = e^{-0.5t} \cdot (-0.5) = -0.5e^{-0.5t} \]
\[ C'(t) = 10 \cdot e^{-0.5t} + 10t \cdot (-0.5e^{-0.5t}) \]
\[ C'(t) = 10e^{-0.5t} - 5te^{-0.5t} = e^{-0.5t}(10 - 5t) \]
Теперь подставим \( t = 1 \) час:
\[ C'(1) = e^{-0.5 \cdot 1}(10 - 5 \cdot 1) = e^{-0.5}(10 - 5) = 5e^{-0.5} \]
Приблизительное значение \( e^{-0.5} \approx 0.6065 \).
\[ C'(1) \approx 5 \cdot 0.6065 = 3.0325 \]
Ответ: Скорость изменения концентрации через 1 час составляет примерно 3.0325 единиц концентрации в час.
Задача 12. Определение максимальной концентрации (применение производной)
Используя функцию концентрации из предыдущей задачи \( C(t) = 10t \cdot e^{-0.5t} \), найдите время, когда концентрация лекарства в крови достигнет максимума.
Решение:
Для нахождения максимума нужно приравнять производную к нулю: \( C'(t) = 0 \).
Мы уже нашли \( C'(t) = e^{-0.5t}(10 - 5t) \).
\[ e^{-0.5t}(10 - 5t) = 0 \]
Так как \( e^{-0.5t} \) всегда больше нуля, то \( 10 - 5t = 0 \).
\[ 5t = 10 \]
\[ t = 2 \]
Чтобы убедиться, что это максимум, можно проверить вторую производную или знаки первой производной до и после \( t=2 \). При \( t < 2 \), \( C'(t) > 0 \) (функция возрастает), при \( t > 2 \), \( C'(t) < 0 \) (функция убывает). Значит, в \( t=2 \) достигается максимум.
Ответ: Максимальная концентрация лекарства в крови достигается через 2 часа.
Задача 13. Общее количество вещества (интеграл)
Скорость поступления вещества в организм описывается функцией \( R(t) = 2t + 3 \) (мг/час). Какое общее количество вещества поступит в организм за первые 4 часа?
Решение:
Для нахождения общего количества вещества нужно проинтегрировать функцию скорости по времени от 0 до 4 часов.
\[ \int_{0}^{4} (2t + 3) dt \]
Найдем первообразную: \( \int (2t + 3) dt = t^2 + 3t + C \).
Теперь вычислим определенный интеграл:
\[ [t^2 + 3t]_{0}^{4} = (4^2 + 3 \cdot 4) - (0^2 + 3 \cdot 0) \]
\[ = (16 + 12) - 0 = 28 \]
Ответ: За первые 4 часа в организм поступит 28 мг вещества.
Задача 14. Распад лекарства (дифференциальное уравнение)
Скорость распада лекарства в растворе пропорциональна его текущей концентрации. Это описывается дифференциальным уравнением \( \frac{dC}{dt} = -kC \), где \( C \) – концентрация, \( t \) – время, \( k \) – константа распада. Если начальная концентрация \( C_0 = 100 \) мг/мл и \( k = 0.1 \) ч\(^{-1}\), найдите концентрацию через 5 часов.
Решение:
Решение дифференциального уравнения \( \frac{dC}{dt} = -kC \) имеет вид \( C(t) = C_0 \cdot e^{-kt} \).
Подставим известные значения: \( C_0 = 100 \), \( k = 0.1 \), \( t = 5 \).
\[ C(5) = 100 \cdot e^{-0.1 \cdot 5} = 100 \cdot e^{-0.5} \]
Приблизительное значение \( e^{-0.5} \approx 0.6065 \).
\[ C(5) \approx 100 \cdot 0.6065 = 60.65 \]
Ответ: Концентрация лекарства через 5 часов составит примерно 60.65 мг/мл.
Задача 15. Определение площади под кривой (интеграл)
График показывает скорость всасывания лекарства в кровь. Площадь под этим графиком от \( t=0 \) до \( t=T \) представляет собой общее количество всосавшегося лекарства за время \( T \). Если скорость всасывания \( V(t) = 6t - t^2 \) (мг/мин), найдите общее количество всосавшегося лекарства за первые 3 минуты.
Решение:
Нужно вычислить определенный интеграл от функции скорости от 0 до 3.
\[ \int_{0}^{3} (6t - t^2) dt \]
Найдем первообразную: \( \int (6t - t^2) dt = 3t^2 - \frac{t^3}{3} + C \).
Вычислим определенный интеграл:
\[ [3t^2 - \frac{t^3}{3}]_{0}^{3} = (3 \cdot 3^2 - \frac{3^3}{3}) - (3 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3}) \]
\[ = (3 \cdot 9 - \frac{27}{3}) - 0 = (27 - 9) = 18 \]
Ответ: За первые 3 минуты всосется 18 мг лекарства.
Задача 16. Оптимизация дозировки (применение производной)
Эффективность нового препарата \( E(x) \) зависит от дозировки \( x \) (в мг) по формуле \( E(x) = 100x - 2x^2 \). Найдите дозировку, при которой эффективность будет максимальной.
Решение:
Для нахождения максимума нужно взять производную функции эффективности и приравнять её к нулю.
\[ E'(x) = (100x - 2x^2)' = 100 - 4x \]
Приравняем к нулю:
\[ 100 - 4x = 0 \]
\[ 4x = 100 \]
\[ x = 25 \]
Вторая производная \( E''(x) = -4 \), что меньше нуля, значит, это действительно максимум.
Ответ: Максимальная эффективность достигается при дозировке 25 мг.
Задача 17. Расчет среднего значения функции (интеграл)
Концентрация антибиотика в крови пациента в течение 6 часов после приема описывается функцией \( C(t) = 12t - t^2 \) (мкг/мл). Найдите среднюю концентрацию антибиотика за этот период.
Решение:
Среднее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \) вычисляется по формуле \( \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx \).
В нашем случае \( a=0 \), \( b=6 \), \( C(t) = 12t - t^2 \).
\[ \text{Средняя концентрация} = \frac{1}{6-0} \int_{0}^{6} (12t - t^2) dt \]
Найдем первообразную: \( \int (12t - t^2) dt = 6t^2 - \frac{t^3}{3} + C \).
Вычислим определенный интеграл:
\[ [6t^2 - \frac{t^3}{3}]_{0}^{6} = (6 \cdot 6^2 - \frac{6^3}{3}) - (6 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3}) \]
\[ = (6 \cdot 36 - \frac{216}{3}) - 0 = (216 - 72) = 144 \]
Теперь разделим на длину интервала:
\[ \frac{1}{6} \cdot 144 = 24 \]
Ответ: Средняя концентрация антибиотика за 6 часов составляет 24 мкг/мл.
Задача 18. Определение скорости роста бактерий (производная)
Количество бактерий в культуре \( N(t) \) через \( t \) часов описывается функцией \( N(t) = 100 \cdot e^{0.2t} \). Найдите скорость роста бактерий через 3 часа.
Решение:
Скорость роста – это производная функции \( N(t) \).
\[ N'(t) = (100 \cdot e^{0.2t})' \]
\[ N'(t) = 100 \cdot e^{0.2t} \cdot (0.2) = 20 \cdot e^{0.2t} \]
Подставим \( t = 3 \):
\[ N'(3) = 20 \cdot e^{0.2 \cdot 3} = 20 \cdot e^{0.6} \]
Приблизительное значение \( e^{0.6} \approx 1.822 \).
\[ N'(3) \approx 20 \cdot 1.822 = 36.44 \]
Ответ: Скорость роста бактерий через 3 часа составляет примерно 36.44 бактерий в час.
Задача 19. Расчет объема лекарства (интеграл)
Скорость подачи лекарства через капельницу меняется со временем по формуле \( V(t) = 5 - 0.5t \) (мл/мин). Какой объем лекарства поступит пациенту за первые 8 минут?
Решение:
Для нахождения общего объема нужно проинтегрировать функцию скорости по времени от 0 до 8 минут.
\[ \int_{0}^{8} (5 - 0.5t) dt \]
Найдем первообразную: \( \int (5 - 0.5t) dt = 5t - 0.25t^2 + C \).
Вычислим определенный интеграл:
\[ [5t - 0.25t^2]_{0}^{8} = (5 \cdot 8 - 0.25 \cdot 8^2) - (5 \cdot 0 - 0.25 \cdot 0^2) \]
\[ = (40 - 0.25 \cdot 64) - 0 = (40 - 16) = 24 \]
Ответ: За первые 8 минут пациенту поступит 24 мл лекарства.
Задача 20. Определение точки перегиба (вторая производная)
Кривая роста популяции микроорганизмов описывается функцией \( P(t) = \frac{1000}{1 + 99e^{-0.5t}} \). Найдите время, когда скорость роста популяции начинает замедляться (точка перегиба).
Решение:
Точка перегиба находится там, где вторая производная равна нулю. Это довольно сложная задача для школьника, но попробуем упростить. Для логистической функции \( P(t) = \frac{L}{1 + Ae^{-kt}} \) точка перегиба (максимальная скорость роста) находится при \( t = \frac{\ln A}{k} \).
В нашем случае \( L = 1000 \), \( A = 99 \), \( k = 0.5 \).
\[ t = \frac{\ln 99}{0.5} \]
Приблизительное значение \( \ln 99 \approx 4.595 \).
\[ t \approx \frac{4.595}{0.5} = 9.19 \]
Ответ: Скорость роста популяции начинает замедляться примерно через 9.19 часов (это точка максимальной скорости роста, после которой скорость начинает уменьшаться).