Решение задачи: доказать, что ∠ANO = 90° в конусе

Дано: конус с вершиной \(S\), центр основания \(O\). Радиус \(R = OA = OB = 13\). Высота \(H = SO = 3\sqrt{41}\). \(M\) — середина \(SA\). \(MN \parallel SB\), \(N\) лежит в плоскости основания. а) Доказать, что \(\angle ANO = 90^\circ\). Доказательство: 1. Рассмотрим плоскость треугольника \(ASB\). Так как \(M\) — середина \(SA\) и \(MN \parallel SB\), то по теореме Фалеса (или как средняя линия) точка \(N\) должна лежать на отрезке, соединяющем \(A\) с точкой на основании. Однако по условию \(N\) лежит в плоскости основания. 2. Проведем среднюю линию \(MK\) в треугольнике \(ASB\), где \(K\) — середина \(AB\). Тогда \(MK \parallel SB\). 3. Так как через точку \(M\) можно провести только одну прямую, параллельную \(SB\), то прямая \(MN\) совпадает с прямой \(MK\). Значит, точка \(N\) лежит на прямой \(AB\). 4. Более того, так как \(MN \parallel SB\) и \(M\) — середина \(SA\), то \(N\) является серединой отрезка \(AB\) (по свойству средней линии треугольника \(ASB\)). 5. Рассмотрим основание конуса. Треугольник \(AOB\) — равнобедренный, так как \(OA = OB = R\). 6. В равнобедренном треугольнике \(AOB\) медиана \(ON\), проведенная к основанию \(AB\), является также и высотой. 7. Следовательно, \(ON \perp AB\), что и означает, что \(\angle ANO = 90^\circ\). Что и требовалось доказать. б) Найти угол между \(MB\) и плоскостью основания, если \(AB = 10\). Решение: 1. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. 2. Пусть \(M'\) — проекция точки \(M\) на плоскость основания. Так как \(SO \perp\) плоскости основания и \(M\) — середина \(SA\), то \(M'\) лежит на отрезке \(AO\) и является его серединой (по теореме Фалеса). 3. Длина перпендикуляра \(MM'\) равна половине высоты конуса (как средняя линия треугольника \(ASO\)): \[ MM' = \frac{1}{2} SO = \frac{3\sqrt{41}}{2} \] 4. Проекцией наклонной \(MB\) на плоскость основания является отрезок \(M'B\). Искомый угол — это \(\angle MBM'\). Обозначим его \(\alpha\). 5. Из прямоугольного треугольника \(MBM'\): \[ \text{tg } \alpha = \frac{MM'}{M'B} \] 6. Найдем \(M'B\) из треугольника \(AOB\) по теореме косинусов или через координаты. Удобнее использовать теорему косинусов для треугольника \(M'OB\). Сначала найдем \(\cos \angle OAB\). В равнобедренном \(\triangle AOB\): \(AN = \frac{1}{2} AB = 5\). \[ \cos \angle OAB = \frac{AN}{OA} = \frac{5}{13} \] 7. В треугольнике \(M'OB\): \(AM' = M'O = \frac{13}{2} = 6.5\). По теореме косинусов для \(\triangle BAM'\) (где \(\angle A\) — это \(\angle OAB\)): \[ M'B^2 = AB^2 + AM'^2 - 2 \cdot AB \cdot AM' \cdot \cos \angle A \] \[ M'B^2 = 10^2 + (6.5)^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6.5 \cdot \frac{5}{13} \] \[ M'B^2 = 100 + 42.25 - 130 \cdot \frac{5}{13} = 142.25 - 50 = 92.25 \] \[ M'B = \sqrt{92.25} = \sqrt{\frac{369}{4}} = \frac{3\sqrt{41}}{2} \] 8. Теперь вычислим тангенс угла: \[ \text{tg } \alpha = \frac{\frac{3\sqrt{41}}{2}}{\frac{3\sqrt{41}}{2}} = 1 \] 9. Следовательно, \(\alpha = 45^\circ\). Ответ: \(45^\circ\).