schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задачи: Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность...
help_outlineУсловие задачи
Через вершины А и С треугольника АВС проведена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС в точках Р и К соответственно. Известно, что АC = 21 см, РК = 7 см, ВК = 5 см. Найдите отрезок АВ.
lightbulbКраткий ответ
Чтобы найти сторону AB, воспользуемся подобием треугольников KBP и ABC. AB = 15 см.
Подробное решение
Дано:
Треугольник \(ABC\), окружность проходит через точки \(A\) и \(C\).
\(P\) — точка на стороне \(AB\), \(K\) — точка на стороне \(BC\).
\(AC = 21\) см, \(PK = 7\) см, \(BK = 5\) см.
Найти: \(AB\).
Решение:
1. Рассмотрим четырехугольник \(APKC\). Так как его вершины лежат на одной окружности, он является вписанным.
2. По свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Следовательно:
\[ \angle PAC + \angle PKC = 180^\circ \]
3. Углы \(\angle BKP\) и \(\angle PKC\) — смежные, их сумма равна \(180^\circ\). Отсюда:
\[ \angle BKP = 180^\circ - \angle PKC \]
4. Сравнивая выражения, получаем, что \(\angle BKP = \angle PAC\) (или \(\angle BAC\)).
5. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(KBP\):
- Угол \(\angle B\) — общий;
- \(\angle BAC = \angle BKP\) (доказано выше).
Следовательно, треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(KBP\) по двум углам.
6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
\[ \frac{AC}{PK} = \frac{AB}{BK} \]
7. Подставим известные значения в пропорцию:
\[ \frac{21}{7} = \frac{AB}{5} \]
8. Выразим \(AB\):
\[ 3 = \frac{AB}{5} \]
\[ AB = 3 \cdot 5 \]
\[ AB = 15 \]
Ответ: \(AB = 15\) см.