Предельные Выступы Кирпичей в Арке: Решение Задачи

Давайте решим эту задачу. Представим, что у нас есть четыре кирпича, расположенные друг над другом, и каждый верхний кирпич выступает над нижним. Нам нужно найти максимальные расстояния, на которые каждый кирпич может выступать, чтобы вся конструкция оставалась в равновесии. Обозначим: * Массу каждого кирпича как \(m\). * Длину каждого кирпича как \(L\). Будем рассматривать кирпичи сверху вниз, чтобы понять, как распределяется нагрузка и где находится центр масс.

1. Верхний кирпич (четвертый)

Самый верхний кирпич (четвертый) лежит на третьем. Чтобы он не упал, его центр масс должен находиться над площадью опоры, то есть над третьим кирпичом. Максимальное расстояние, на которое он может выступать, это когда его центр масс находится точно на краю третьего кирпича. Центр масс однородного кирпича находится посередине его длины. Значит, максимальное расстояние, на которое четвертый кирпич может выступать над третьим, равно половине его длины. \[x_4 = \frac{L}{2}\]

2. Второй сверху кирпич (третий)

Теперь рассмотрим систему из двух верхних кирпичей (четвертого и третьего). Они вместе лежат на втором кирпиче. Чтобы эта система оставалась в равновесии, общий центр масс этих двух кирпичей должен находиться над площадью опоры, то есть над вторым кирпичом. Пусть третий кирпич выступает над вторым на расстояние \(x_3\). Мы уже знаем, что четвертый кирпич выступает над третьим на \(x_4 = \frac{L}{2}\). Найдем положение общего центра масс системы из четвертого и третьего кирпичей относительно правого края третьего кирпича. Представим, что правый край третьего кирпича — это точка отсчета (нулевая координата). * Центр масс четвертого кирпича находится на расстоянии \(x_4\) от правого края третьего кирпича. То есть, его координата \(-\frac{L}{2}\) относительно правого края третьего кирпича. * Центр масс третьего кирпича находится на расстоянии \(\frac{L}{2}\) от его правого края. То есть, его координата \(-\frac{L}{2}\) относительно правого края третьего кирпича. Общий центр масс \(X_{34}\) для двух кирпичей: \[X_{34} = \frac{m \cdot (-\frac{L}{2}) + m \cdot (-\frac{L}{2})}{m + m} = \frac{-L}{2}\] Это означает, что общий центр масс системы из третьего и четвертого кирпичей находится на расстоянии \(\frac{L}{2}\) от правого края третьего кирпича. Чтобы система из третьего и четвертого кирпичей не упала со второго, их общий центр масс должен находиться над краем второго кирпича. Значит, максимальное расстояние, на которое третий кирпич может выступать над вторым, равно расстоянию от его правого края до общего центра масс. \[x_3 = \frac{L}{2}\]

3. Третий сверху кирпич (второй)

Теперь рассмотрим систему из трех верхних кирпичей (четвертого, третьего и второго). Они вместе лежат на первом кирпиче. Общий центр масс этой системы должен находиться над площадью опоры, то есть над первым кирпичом. Пусть второй кирпич выступает над первым на расстояние \(x_2\). Мы уже знаем, что третий кирпич выступает над вторым на \(x_3 = \frac{L}{2}\). И четвертый кирпич выступает над третьим на \(x_4 = \frac{L}{2}\). Найдем положение общего центра масс системы из четвертого, третьего и второго кирпичей относительно правого края второго кирпича. Представим, что правый край второго кирпича — это точка отсчета (нулевая координата). * Центр масс второго кирпича находится на расстоянии \(\frac{L}{2}\) от его правого края. Координата: \(-\frac{L}{2}\). * Система из третьего и четвертого кирпичей имеет общий центр масс на расстоянии \(\frac{L}{2}\) от правого края третьего кирпича. Правый край третьего кирпича находится на расстоянии \(x_3 = \frac{L}{2}\) от правого края второго кирпича. Значит, общий центр масс системы из третьего и четвертого кирпичей находится на расстоянии \(\frac{L}{2} + \frac{L}{2} = L\) от правого края второго кирпича. Координата: \(-L\). Общий центр масс \(X_{234}\) для трех кирпичей: \[X_{234} = \frac{m \cdot (-\frac{L}{2}) + (m+m) \cdot (-L)}{m + m + m} = \frac{-\frac{L}{2} - 2L}{3} = \frac{-\frac{5L}{2}}{3} = -\frac{5L}{6}\] Это означает, что общий центр масс системы из второго, третьего и четвертого кирпичей находится на расстоянии \(\frac{5L}{6}\) от правого края второго кирпича. Чтобы система из второго, третьего и четвертого кирпичей не упала с первого, их общий центр масс должен находиться над краем первого кирпича. Значит, максимальное расстояние, на которое второй кирпич может выступать над первым, равно расстоянию от его правого края до общего центра масс. \[x_2 = \frac{5L}{6}\]

4. Четвертый сверху кирпич (первый)

Теперь рассмотрим систему из всех четырех кирпичей. Они вместе лежат на столе. Общий центр масс этой системы должен находиться над площадью опоры, то есть над столом. Пусть первый кирпич выступает над столом на расстояние \(x_1\). Мы уже знаем, что второй кирпич выступает над первым на \(x_2 = \frac{5L}{6}\). Третий кирпич выступает над вторым на \(x_3 = \frac{L}{2}\). Четвертый кирпич выступает над третьим на \(x_4 = \frac{L}{2}\). Найдем положение общего центра масс системы из всех четырех кирпичей относительно правого края первого кирпича. Представим, что правый край первого кирпича — это точка отсчета (нулевая координата). * Центр масс первого кирпича находится на расстоянии \(\frac{L}{2}\) от его правого края. Координата: \(-\frac{L}{2}\). * Система из второго, третьего и четвертого кирпичей имеет общий центр масс на расстоянии \(\frac{5L}{6}\) от правого края второго кирпича. Правый край второго кирпича находится на расстоянии \(x_2 = \frac{5L}{6}\) от правого края первого кирпича. Значит, общий центр масс системы из второго, третьего и четвертого кирпичей находится на расстоянии \(\frac{5L}{6} + \frac{5L}{6} = \frac{10L}{6} = \frac{5L}{3}\) от правого края первого кирпича. Координата: \(-\frac{5L}{3}\). Общий центр масс \(X_{1234}\) для всех четырех кирпичей: \[X_{1234} = \frac{m \cdot (-\frac{L}{2}) + (m+m+m) \cdot (-\frac{5L}{3})}{m + m + m + m} = \frac{-\frac{L}{2} - 3 \cdot \frac{5L}{3}}{4} = \frac{-\frac{L}{2} - 5L}{4} = \frac{-\frac{11L}{2}}{4} = -\frac{11L}{8}\] Это означает, что общий центр масс системы из всех четырех кирпичей находится на расстоянии \(\frac{11L}{8}\) от правого края первого кирпича. Чтобы система из всех четырех кирпичей не упала со стола, их общий центр масс должен находиться над краем стола. Значит, максимальное расстояние, на которое первый кирпич может выступать над столом, равно расстоянию от его правого края до общего центра масс. \[x_1 = \frac{11L}{8}\]

Итоговые предельные расстояния:

* Четвертый кирпич (самый верхний) может выступать над третьим на: \[x_4 = \frac{L}{2}\] * Третий кирпич может выступать над вторым на: \[x_3 = \frac{L}{2}\] * Второй кирпич может выступать над первым на: \[x_2 = \frac{5L}{6}\] * Первый кирпич может выступать над столом на: \[x_1 = \frac{11L}{8}\] Эти расстояния показывают максимальный выступ каждого кирпича, при котором конструкция остается в равновесии.