Решение задачи: Движение точки A в плоскости XY (t=3 с)

Задача № 2 Даны уравнения движения точки A в плоскости XY: \[x = - \cos^2(\frac{\pi t}{6})\] \[y = \sin^2(\frac{\pi t}{6}) - 2\] Необходимо найти: 1. Уравнение траектории точки A. 2. Для момента времени \(t = 3\) с: а) Положение точки на траектории. б) Скорость точки. в) Полное ускорение. г) Касательное ускорение. д) Нормальное ускорение. е) Радиус кривизны в соответствующей точке. Решение: 1. Найдем уравнение траектории точки A. Известно основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Из первого уравнения выразим \(\cos^2(\frac{\pi t}{6})\): \[\cos^2(\frac{\pi t}{6}) = -x\] Из второго уравнения выразим \(\sin^2(\frac{\pi t}{6})\): \[\sin^2(\frac{\pi t}{6}) = y + 2\] Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество: \[(y + 2) + (-x) = 1\] \[y + 2 - x = 1\] \[y = x - 1\] Это уравнение прямой. Таким образом, траектория точки A является прямой линией. 2. Найдем параметры движения для момента времени \(t = 3\) с. а) Положение точки на траектории при \(t = 3\) с. Подставим \(t = 3\) в уравнения движения: \[x(3) = - \cos^2(\frac{\pi \cdot 3}{6}) = - \cos^2(\frac{\pi}{2}) = - (0)^2 = 0\] \[y(3) = \sin^2(\frac{\pi \cdot 3}{6}) - 2 = \sin^2(\frac{\pi}{2}) - 2 = (1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1\] Положение точки A в момент времени \(t = 3\) с: \(A(0; -1)\). б) Скорость точки. Найдем проекции скорости на оси X и Y, взяв производные по времени от уравнений движения: \[v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (- \cos^2(\frac{\pi t}{6}))\] Используем правило цепочки: \((f(g(t)))' = f'(g(t)) \cdot g'(t)\). Пусть \(u = \cos(\frac{\pi t}{6})\). Тогда \(x = -u^2\). \(\frac{dx}{dt} = -2u \frac{du}{dt} = -2 \cos(\frac{\pi t}{6}) \cdot (-\sin(\frac{\pi t}{6})) \cdot \frac{\pi}{6}\) \[v_x = \frac{2\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{6}) \cos(\frac{\pi t}{6}) = \frac{\pi}{3} \sin(\frac{\pi t}{6}) \cos(\frac{\pi t}{6})\] Используем формулу двойного угла \(\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha\): \[v_x = \frac{\pi}{6} \sin(\frac{2\pi t}{6}) = \frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{3})\] \[v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (\sin^2(\frac{\pi t}{6}) - 2)\] Пусть \(w = \sin(\frac{\pi t}{6})\). Тогда \(y = w^2 - 2\). \(\frac{dy}{dt} = 2w \frac{dw}{dt} = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) \cdot \cos(\frac{\pi t}{6}) \cdot \frac{\pi}{6}\) \[v_y = \frac{2\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{6}) \cos(\frac{\pi t}{6}) = \frac{\pi}{3} \sin(\frac{\pi t}{6}) \cos(\frac{\pi t}{6})\] \[v_y = \frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{3})\] Заметим, что \(v_x = v_y\). Это ожидаемо, так как траектория - прямая \(y = x - 1\), и вектор скорости должен быть направлен вдоль этой прямой. Теперь подставим \(t = 3\) с в выражения для \(v_x\) и \(v_y\): \[v_x(3) = \frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi \cdot 3}{3}) = \frac{\pi}{6} \sin(\pi) = \frac{\pi}{6} \cdot 0 = 0\] \[v_y(3) = \frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi \cdot 3}{3}) = \frac{\pi}{6} \sin(\pi) = \frac{\pi}{6} \cdot 0 = 0\] Модуль скорости \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\): \[v(3) = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\] Скорость точки в момент времени \(t = 3\) с равна 0. Это означает, что в этот момент точка останавливается. в) Полное ускорение. Найдем проекции ускорения на оси X и Y, взяв производные по времени от проекций скорости: \[a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{3}))\] \[a_x = \frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi t}{3}) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{18} \cos(\frac{\pi t}{3})\] \[a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{3}))\] \[a_y = \frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi t}{3}) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{18} \cos(\frac{\pi t}{3})\] Заметим, что \(a_x = a_y\). Теперь подставим \(t = 3\) с в выражения для \(a_x\) и \(a_y\): \[a_x(3) = \frac{\pi^2}{18} \cos(\frac{\pi \cdot 3}{3}) = \frac{\pi^2}{18} \cos(\pi) = \frac{\pi^2}{18} \cdot (-1) = -\frac{\pi^2}{18}\] \[a_y(3) = \frac{\pi^2}{18} \cos(\frac{\pi \cdot 3}{3}) = \frac{\pi^2}{18} \cos(\pi) = \frac{\pi^2}{18} \cdot (-1) = -\frac{\pi^2}{18}\] Модуль полного ускорения \(a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\): \[a(3) = \sqrt{(-\frac{\pi^2}{18})^2 + (-\frac{\pi^2}{18})^2} = \sqrt{2 \cdot (\frac{\pi^2}{18})^2} = \frac{\pi^2}{18} \sqrt{2}\] Полное ускорение в момент времени \(t = 3\) с: \(a = \frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18}\). г) Касательное ускорение. Касательное ускорение \(a_\tau\) - это производная модуля скорости по времени: \[a_\tau = \frac{dv}{dt}\] Модуль скорости \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(\frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{3}))^2 + (\frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{3}))^2}\) \[v = \sqrt{2 \cdot (\frac{\pi}{6} \sin(\frac{\pi t}{3}))^2} = \frac{\pi}{6} \sqrt{2} |\sin(\frac{\pi t}{3})|\] Для \(t = 3\) с, \(\frac{\pi t}{3} = \pi\), \(\sin(\pi) = 0\). В окрестности \(t=3\), \(\frac{\pi t}{3}\) находится в интервале, где \(\sin(\frac{\pi t}{3})\) меняет знак. Если \(t < 3\), то \(\frac{\pi t}{3} < \pi\), и \(\sin(\frac{\pi t}{3}) > 0\). Тогда \(v = \frac{\pi \sqrt{2}}{6} \sin(\frac{\pi t}{3})\). Если \(t > 3\), то \(\frac{\pi t}{3} > \pi\), и \(\sin(\frac{\pi t}{3}) < 0\). Тогда \(v = -\frac{\pi \sqrt{2}}{6} \sin(\frac{\pi t}{3})\). Поскольку в момент \(t=3\) скорость равна нулю, и точка меняет направление движения, касательное ускорение можно найти как проекцию полного ускорения на направление скорости. Однако, поскольку скорость равна нулю, это определение становится проблематичным. Более общий способ: \(a_\tau = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v}\). Но при \(v=0\) эта формула не работает. В случае, когда скорость равна нулю, касательное ускорение равно полному ускорению, если нормальное ускорение равно нулю. Давайте вычислим \(a_\tau = \frac{dv}{dt}\) для \(t=3\). \[a_\tau = \frac{d}{dt} (\frac{\pi \sqrt{2}}{6} \sin(\frac{\pi t}{3})) = \frac{\pi \sqrt{2}}{6} \cos(\frac{\pi t}{3}) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18} \cos(\frac{\pi t}{3})\] Подставим \(t = 3\) с: \[a_\tau(3) = \frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18} \cos(\pi) = \frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18} \cdot (-1) = -\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18}\] Касательное ускорение в момент времени \(t = 3\) с: \(a_\tau = -\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18}\). д) Нормальное ускорение. Нормальное ускорение \(a_n\) можно найти из соотношения: \(a^2 = a_\tau^2 + a_n^2\). \[a_n = \sqrt{a^2 - a_\tau^2}\] Подставим значения \(a\) и \(a_\tau\) для \(t = 3\) с: \[a_n(3) = \sqrt{(\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18})^2 - (-\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18})^2} = \sqrt{(\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18})^2 - (\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18})^2} = 0\] Нормальное ускорение в момент времени \(t = 3\) с равно 0. Это логично, так как траектория является прямой линией, и нормальное ускорение для прямолинейного движения всегда равно нулю. е) Радиус кривизны в соответствующей точке. Радиус кривизны \(R\) связан с нормальным ускорением и скоростью формулой: \[a_n = \frac{v^2}{R}\] Отсюда \(R = \frac{v^2}{a_n}\). В момент времени \(t = 3\) с, \(v = 0\) и \(a_n = 0\). В этом случае формула \(R = \frac{v^2}{a_n}\) приводит к неопределенности \(\frac{0}{0}\). Для прямолинейного движения радиус кривизны считается бесконечным. Поскольку траектория является прямой линией \(y = x - 1\), радиус кривизны в любой точке этой траектории, включая точку \(A(0; -1)\), равен бесконечности. Проверим, что траектория действительно прямая. Мы получили \(y = x - 1\). Это уравнение прямой. Для прямолинейного движения нормальное ускорение всегда равно нулю, а радиус кривизны бесконечен. Наши расчеты подтверждают это. Окончательные результаты для \(t = 3\) с: 1. Уравнение траектории: \(y = x - 1\) (прямая линия). 2. Положение точки: \(A(0; -1)\). 3. Скорость: \(v = 0\). 4. Полное ускорение: \(a = \frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18}\). 5. Касательное ускорение: \(a_\tau = -\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{18}\). 6. Нормальное ускорение: \(a_n = 0\). 7. Радиус кривизны: \(R = \infty\).