№1 Найти производную функций
а) \(y = x + 16\)
Решение:
Для нахождения производной используем правила дифференцирования:
- Производная суммы равна сумме производных: \((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)
- Производная \(x\) равна 1: \((x)' = 1\)
- Производная константы равна 0: \((C)' = 0\)
Применяем эти правила к нашей функции:
\[y' = (x + 16)'\] \[y' = (x)' + (16)'\] \[y' = 1 + 0\] \[y' = 1\]Ответ: \(y' = 1\)
б) \(y = 3x - 9\)
Решение:
Используем правила дифференцирования:
- Производная разности равна разности производных: \((f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)\)
- Производная константы, умноженной на функцию: \((C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)\)
- Производная \(x\) равна 1: \((x)' = 1\)
- Производная константы равна 0: \((C)' = 0\)
Применяем эти правила:
\[y' = (3x - 9)'\] \[y' = (3x)' - (9)'\] \[y' = 3 \cdot (x)' - 0\] \[y' = 3 \cdot 1 - 0\] \[y' = 3\]Ответ: \(y' = 3\)
в) \(y = (x + 7)(2x - 4)\)
Решение:
Для нахождения производной произведения двух функций \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) .
Пусть \(u = x + 7\) и \(v = 2x - 4\).
Найдем производные \(u'\) и \(v'\):
\[u' = (x + 7)' = (x)' + (7)' = 1 + 0 = 1\] \[v' = (2x - 4)' = (2x)' - (4)' = 2 \cdot (x)' - 0 = 2 \cdot 1 = 2\]Теперь подставим в формулу производной произведения:
\[y' = u'v + uv'\] \[y' = 1 \cdot (2x - 4) + (x + 7) \cdot 2\] \[y' = 2x - 4 + 2x + 14\] \[y' = 4x + 10\]Ответ: \(y' = 4x + 10\)
г) \(y = 3x^5\)
Решение:
Используем правило производной степенной функции \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) и правило производной константы, умноженной на функцию \((C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)\).
\[y' = (3x^5)'\] \[y' = 3 \cdot (x^5)'\] \[y' = 3 \cdot 5 \cdot x^{5-1}\] \[y' = 15x^4\]Ответ: \(y' = 15x^4\)
д) \(y = 7\sqrt[3]{x}\)
Решение:
Сначала перепишем функцию, используя степенную форму: \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\).
\[y = 7x^{\frac{1}{3}}\]Теперь найдем производную, используя правило производной степенной функции \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) и правило производной константы, умноженной на функцию \((C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)\).
\[y' = (7x^{\frac{1}{3}})'\] \[y' = 7 \cdot (x^{\frac{1}{3}})'\] \[y' = 7 \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1}\] \[y' = \frac{7}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}}\] \[y' = \frac{7}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\]Можно переписать результат, используя корни:
\[y' = \frac{7}{3x^{\frac{2}{3}}}\] \[y' = \frac{7}{3\sqrt[3]{x^2}}\]Ответ: \(y' = \frac{7}{3\sqrt[3]{x^2}}\)