Решение задачи: Преобразование Лапласа и передаточные функции

Для выполнения задания по представленным изображениям необходимо выполнить преобразование Лапласа для системы дифференциальных уравнений и вывести передаточные функции. Ниже представлено решение, оформленное для переписывания в тетрадь. Шаг 5. Преобразование по Лапласу и получение передаточных функций 1. Исходная система дифференциальных уравнений в компактной форме: \[ T_1 \frac{d \Delta C}{d \tau} + \Delta C = \Delta f_1 \] \[ T_2 \frac{d \Delta t}{d \tau} + \Delta t = \Delta f_2 \] \[ T_3 \frac{d (\Delta h)}{d \tau} = \Delta f_3 \] При нулевых начальных условиях \( \Delta C|_{ \tau=0 } = 0 \), \( \Delta t|_{ \tau=0 } = 0 \), \( \Delta h|_{ \tau=0 } = 0 \) операция дифференцирования \( \frac{d}{d \tau} \) заменяется оператором Лапласа \( p \). 2. Преобразуем уравнения по Лапласу: \[ T_1 p \hat{\Delta C} + \hat{\Delta C} = \hat{\Delta f_1} \] \[ T_2 p \hat{\Delta t} + \hat{\Delta t} = \hat{\Delta f_2} \] \[ T_3 p \hat{\Delta h} = \hat{\Delta f_3} \] где \( p \) — комплексная переменная, а символы с «крышкой» — изображения соответствующих переменных. 3. Выведем передаточные функции объекта по соответствующим каналам: Для первого уравнения: \[ \hat{\Delta C} (T_1 p + 1) = \hat{\Delta f_1} \implies W_1(p) = \frac{\hat{\Delta C}}{\hat{\Delta f_1}} = \frac{1}{T_1 p + 1} \] Для второго уравнения: \[ \hat{\Delta t} (T_2 p + 1) = \hat{\Delta f_2} \implies W_2(p) = \frac{\hat{\Delta t}}{\hat{\Delta f_2}} = \frac{1}{T_2 p + 1} \] Для третьего уравнения: \[ \hat{\Delta h} (T_3 p) = \hat{\Delta f_3} \implies W_3(p) = \frac{\hat{\Delta h}}{\hat{\Delta f_3}} = \frac{1}{T_3 p} \] 4. Выражения для возмущающих воздействий в изображениях: \[ \hat{\Delta f_1} = K_{11} \hat{\Delta C_1} + K_{12} \hat{\Delta C_2} + K_{13} \hat{\Delta v_1} + K_{14} \hat{\Delta v_2} \] \[ \hat{\Delta f_2} = K_{21} \hat{\Delta t_1} + K_{22} \hat{\Delta t_2} + K_{23} \hat{\Delta v_1} + K_{24} \hat{\Delta v_2} \] \[ \hat{\Delta f_3} = \hat{\Delta v_1} + \hat{\Delta v_2} - \hat{\Delta v} \] Данные передаточные функции \( W_1(p) \), \( W_2(p) \) и \( W_3(p) \) описывают динамические свойства объекта и используются для построения структурно-алгоритмической схемы, представленной на рисунке 2.