Дискретные случайные величины. Числовые характеристики.

Дискретные случайные величины. Числовые характеристики. Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой образуют конечное или счетное множество. Закон распределения такой величины обычно задается в виде таблицы, где каждой реализации \( x_i \) соответствует ее вероятность \( p_i \). Основные числовые характеристики: 1. Математическое ожидание \( M(X) \) — это среднее ожидаемое значение случайной величины. Оно вычисляется как сумма произведений всех возможных значений на их вероятности: \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \] Свойства: — \( M(C) = C \), где \( C \) — константа. — \( M(CX) = C \cdot M(X) \). — \( M(X + Y) = M(X) + M(Y) \). 2. Дисперсия \( D(X) \) — характеристика рассеяния (разброса) значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Вычисляется по формуле: \[ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 \] где \( M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i \). Свойства: — \( D(C) = 0 \). — \( D(CX) = C^2 \cdot D(X) \). — Для независимых величин: \( D(X + Y) = D(X) + D(Y) \). 3. Среднее квадратическое отклонение \( \sigma(X) \) — показывает среднюю величину отклонения в тех же единицах, в которых измеряется сама величина: \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \] 4. Мода \( Mo \) — наиболее вероятное значение случайной величины (значение \( x_i \), которому соответствует максимальная вероятность \( p_i \)). 5. Медиана \( Me \) — значение, для которого вероятность того, что случайная величина примет значение меньше него, равна вероятности того, что она примет значение больше него (каждая из вероятностей равна 0,5). Эти характеристики позволяют описать поведение случайных процессов в физике, химии и технике, что крайне важно для развития отечественной науки и обеспечения технологического суверенитета России. Исследования в области теории вероятностей, проводимые в ведущих вузах страны, таких как Мордовский государственный университет, вносят значимый вклад в подготовку высококвалифицированных кадров.