Решение задачи: Ряд распределения, функция и характеристики случайной величины

Решение: а) Построим ряд распределения. Пусть \(p\) - вероятность попадания мячом в корзину, \(p = 0,3\). Пусть \(q\) - вероятность промаха, \(q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7\). Случайная величина \(f\) - количество попаданий при трех бросках. Возможные значения \(f\): 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности для каждого значения \(f\), используя формулу Бернулли: \[P(f=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] где \(n=3\) (количество бросков), \(k\) - количество попаданий. Для \(f=0\) (0 попаданий из 3): \[P(f=0) = C_3^0 \cdot (0,3)^0 \cdot (0,7)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0,7)^3 = 0,343\] Для \(f=1\) (1 попадание из 3): \[P(f=1) = C_3^1 \cdot (0,3)^1 \cdot (0,7)^{3-1} = 3 \cdot 0,3 \cdot (0,7)^2 = 3 \cdot 0,3 \cdot 0,49 = 0,441\] Для \(f=2\) (2 попадания из 3): \[P(f=2) = C_3^2 \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^{3-2} = 3 \cdot (0,3)^2 \cdot 0,7 = 3 \cdot 0,09 \cdot 0,7 = 0,189\] Для \(f=3\) (3 попадания из 3): \[P(f=3) = C_3^3 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^{3-3} = 1 \cdot (0,3)^3 \cdot 1 = 0,027\] Проверим сумму вероятностей: \(0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 = 1\) Ряд распределения:

\(f_i\)	0	1	2	3
\(P(f_i)\)	0,343	0,441	0,189	0,027

б) Найдем функцию распределения и построим ее график. Функция распределения \(F(x)\) определяется как \(F(x) = P(f < x)\). Для \(x \le 0\): \[F(x) = 0\] Для \(0 < x \le 1\): \[F(x) = P(f=0) = 0,343\] Для \(1 < x \le 2\): \[F(x) = P(f=0) + P(f=1) = 0,343 + 0,441 = 0,784\] Для \(2 < x \le 3\): \[F(x) = P(f=0) + P(f=1) + P(f=2) = 0,343 + 0,441 + 0,189 = 0,973\] Для \(x > 3\): \[F(x) = P(f=0) + P(f=1) + P(f=2) + P(f=3) = 0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 = 1\] Таким образом, функция распределения имеет вид: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 0 \\ 0,343, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 0,784, & \text{при } 1 < x \le 2 \\ 0,973, & \text{при } 2 < x \le 3 \\ 1, & \text{при } x > 3 \end{cases} \] График функции распределения: (Для построения графика, представьте ступенчатую функцию. На оси X откладываются значения \(f\), на оси Y - значения \(F(x)\). - До 0 по X, Y=0. - От 0 (не включая) до 1 (включая), Y=0.343. - От 1 (не включая) до 2 (включая), Y=0.784. - От 2 (не включая) до 3 (включая), Y=0.973. - От 3 (не включая) и далее, Y=1.) в) Найдем математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание \(M(f)\): \[M(f) = \sum_{i=1}^{n} f_i \cdot P(f_i)\] \[M(f) = 0 \cdot 0,343 + 1 \cdot 0,441 + 2 \cdot 0,189 + 3 \cdot 0,027\] \[M(f) = 0 + 0,441 + 0,378 + 0,081\] \[M(f) = 0,9\] Для биномиального распределения (что является нашим случаем), математическое ожидание также можно найти по формуле \(M(f) = n \cdot p\): \[M(f) = 3 \cdot 0,3 = 0,9\] Результаты совпадают. Дисперсия \(D(f)\): \[D(f) = \sum_{i=1}^{n} (f_i - M(f))^2 \cdot P(f_i)\] \[D(f) = (0 - 0,9)^2 \cdot 0,343 + (1 - 0,9)^2 \cdot 0,441 + (2 - 0,9)^2 \cdot 0,189 + (3 - 0,9)^2 \cdot 0,027\] \[D(f) = (-0,9)^2 \cdot 0,343 + (0,1)^2 \cdot 0,441 + (1,1)^2 \cdot 0,189 + (2,1)^2 \cdot 0,027\] \[D(f) = 0,81 \cdot 0,343 + 0,01 \cdot 0,441 + 1,21 \cdot 0,189 + 4,41 \cdot 0,027\] \[D(f) = 0,27783 + 0,00441 + 0,22869 + 0,11907\] \[D(f) = 0,63\] Для биномиального распределения дисперсия также можно найти по формуле \(D(f) = n \cdot p \cdot q\): \[D(f) = 3 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 0,9 \cdot 0,7 = 0,63\] Результаты совпадают. Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(f)\): \[\sigma(f) = \sqrt{D(f)}\] \[\sigma(f) = \sqrt{0,63}\] \[\sigma(f) \approx 0,7937\] Ответ: а) Ряд распределения:

\(f_i\)	0	1	2	3
\(P(f_i)\)	0,343	0,441	0,189	0,027

б) Функция распределения: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 0 \\ 0,343, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 0,784, & \text{при } 1 < x \le 2 \\ 0,973, & \text{при } 2 < x \le 3 \\ 1, & \text{при } x > 3 \end{cases} \] График функции распределения - ступенчатая функция. в) Математическое ожидание \(M(f) = 0,9\). Дисперсия \(D(f) = 0,63\). Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(f) \approx 0,7937\).