Дано:
Треугольник \(MBK\)
\(AB = BC\)
\(\angle ABM = \angle CBK\)
Доказать, что \(AM = CK\)
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник \(ABC\).
По условию, \(AB = BC\). Это означает, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным с основанием \(AC\).
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\).
3. Углы \(\angle BAM\) и \(\angle BCK\) являются смежными с углами \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\) соответственно.
Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Поэтому:
\(\angle BAM = 180^\circ - \angle BAC\)
\(\angle BCK = 180^\circ - \angle BCA\)
Так как \(\angle BAC = \angle BCA\), то \(\angle BAM = \angle BCK\).
4. Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CBK\).
У нас есть:
- \(AB = BC\) (дано)
- \(\angle ABM = \angle CBK\) (дано)
- \(\angle BAM = \angle BCK\) (доказано в пункте 3)
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
В нашем случае, сторона \(AB\) и прилежащие к ней углы \(\angle BAM\) и \(\angle ABM\) в треугольнике \(ABM\) равны стороне \(BC\) и прилежащим к ней углам \(\angle BCK\) и \(\angle CBK\) в треугольнике \(CBK\).
Следовательно, треугольник \(ABM\) равен треугольнику \(CBK\) (\(\triangle ABM = \triangle CBK\)).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Поэтому \(AM = CK\).
Что и требовалось доказать.