Задача:
На доске изображен четырехугольник ABCD. Дано, что стороны AB и CD равны, а также углы DAB и CDA равны. Необходимо доказать, что диагонали AC и BD равны.
Дано:
- Четырехугольник ABCD.
- Сторона AB = Сторона CD (обозначено одной черточкой на рисунке).
- Угол DAB = Угол CDA (обозначено одной дугой на рисунке).
Доказать:
AC = BD
Решение:
Рассмотрим два треугольника: треугольник ABD и треугольник DCA.
1. Сторона AB = Сторона DC (по условию задачи).
2. Угол DAB = Угол CDA (по условию задачи).
3. Сторона AD является общей для обоих треугольников (она входит как в треугольник ABD, так и в треугольник DCA).
Из этих трех пунктов следует, что треугольник ABD равен треугольнику DCA по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Если два треугольника равны, то все их соответствующие элементы также равны. В частности, равны соответствующие стороны.
В равных треугольниках ABD и DCA:
- Сторона AB соответствует стороне DC.
- Сторона AD соответствует стороне DA.
- Сторона BD соответствует стороне AC.
Следовательно, из равенства треугольников ABD и DCA вытекает равенство их соответствующих сторон:
\[BD = AC\]Что и требовалось доказать.