Доказательство Теоремы Герона

Теорема Герона позволяет вычислить площадь треугольника по трем его сторонам. Дано: Треугольник со сторонами \(a\), \(b\), \(c\). \(p = \frac{a + b + c}{2}\) — полупериметр. Доказать: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\] Доказательство: 1. Проведем высоту \(h\) к стороне \(c\). Она делит сторону \(c\) на два отрезка: \(x\) и \(c - x\). 2. По теореме Пифагора для двух полученных прямоугольных треугольников: \[h^2 = a^2 - x^2\] \[h^2 = b^2 - (c - x)^2\] 3. Приравняем правые части: \[a^2 - x^2 = b^2 - (c^2 - 2cx + x^2)\] \[a^2 - x^2 = b^2 - c^2 + 2cx - x^2\] \[a^2 = b^2 - c^2 + 2cx\] 4. Выразим \(x\): \[x = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c}\] 5. Найдем высоту \(h\), используя формулу \(h^2 = a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)\): \[h^2 = a^2 - \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c}\right)^2\] \[h^2 = \frac{(2ac)^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4c^2}\] 6. Разложим числитель как разность квадратов: \[h^2 = \frac{(2ac + a^2 + c^2 - b^2)(2ac - a^2 - c^2 + b^2)}{4c^2}\] \[h^2 = \frac{((a + c)^2 - b^2)(b^2 - (a - c)^2)}{4c^2}\] \[h^2 = \frac{(a + c - b)(a + c + b)(b - a + c)(b + a - c)}{4c^2}\] 7. Выразим множители через полупериметр \(p\), где \(a + b + c = 2p\): \(a + c + b = 2p\) \(a + c - b = 2p - 2b\) \(b - a + c = 2p - 2a\) \(b + a - c = 2p - 2c\) 8. Подставим эти значения в формулу для \(h^2\): \[h^2 = \frac{2p \cdot 2(p - b) \cdot 2(p - a) \cdot 2(p - c)}{4c^2}\] \[h^2 = \frac{16p(p - a)(p - b)(p - c)}{4c^2} = \frac{4p(p - a)(p - b)(p - c)}{c^2}\] 9. Извлечем корень для нахождения \(h\): \[h = \frac{2}{c} \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\] 10. Площадь треугольника \(S\) равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h\] \[S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{2}{c} \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\] \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\] Теорема доказана.