Хорошо, давайте докажем истинность данного высказывания.
Нам нужно доказать, что:
\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4\]
Это сумма первых 16 членов гармонического ряда. Для оценки суммы гармонического ряда часто используют сравнение с интегралом или группировку членов. Давайте воспользуемся методом группировки.
Разобьем сумму на группы, где каждая группа содержит члены, знаменатели которых находятся между степенями двойки.
\[S = 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\right)\]
Теперь оценим каждую группу сверху, заменяя каждый член в группе на наибольший член этой группы.
1. Первый член: \(1\)
2. Вторая группа (1 член): \(\frac{1}{2}\)
3. Третья группа (2 члена): \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\)
Мы знаем, что \(\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2}\).
Значит, \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Более точная оценка: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Или, используя наибольший член в группе, который является \(\frac{1}{3}\), но это не очень удобно.
Давайте заменим каждый член на последний член в группе, который является наименьшим, но мы хотим оценить сверху, поэтому заменим каждый член на первый член в группе, который является наибольшим, или на член, который больше всех в группе.
Лучше использовать следующую оценку:
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Или, если мы хотим использовать метод группировки, где каждая группа оценивается сверху числом 1:
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Но это не совсем то, что обычно используется.
Правильный подход для оценки сверху:
\(\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)
Тогда \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Но для доказательства неравенства \(< 4\) нам нужно более грубое, но эффективное приближение.
Давайте используем стандартный метод группировки для гармонического ряда:
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\). (Здесь мы заменили \(\frac{1}{3}\) на \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{4}\) на \(\frac{1}{2}\)).
Это не совсем корректно, так как \(\frac{1}{4}\) не меньше \(\frac{1}{2}\).
Правильная оценка для группы \(\frac{1}{2^k+1} + \dots + \frac{1}{2^{k+1}}\) состоит в том, что каждый член заменяется на \(\frac{1}{2^k}\).
Количество членов в группе от \(2^k+1\) до \(2^{k+1}\) равно \(2^{k+1} - (2^k+1) + 1 = 2^{k+1} - 2^k = 2^k\).
Тогда сумма группы будет меньше, чем \(2^k \cdot \frac{1}{2^k} = 1\).
Применим это к нашей сумме:
\[S = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\right)\]
Оценим каждую группу:
1. \(1\)
2. \(\frac{1}{2}\)
3. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\)
Здесь \(k=1\). Группа от \(2^1+1=3\) до \(2^2=4\). Количество членов \(2^2-2^1=2\).
Каждый член в этой группе меньше или равен \(\frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}\).
Значит, \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
4. \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\)
Здесь \(k=2\). Группа от \(2^2+1=5\) до \(2^3=8\). Количество членов \(2^3-2^2=4\).
Каждый член в этой группе меньше или равен \(\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\).
Значит, \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\).
5. \(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\)
Здесь \(k=3\). Группа от \(2^3+1=9\) до \(2^4=16\). Количество членов \(2^4-2^3=8\).
Каждый член в этой группе меньше или равен \(\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).
Значит, \(\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} < \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{8}\) (8 раз) \( = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1\).
Теперь сложим все эти оценки:
\[S < 1 + \frac{1}{2} + 1 + 1 + 1\]
\[S < 1 + 0.5 + 1 + 1 + 1\]
\[S < 4.5\]
Это доказывает, что \(S < 4.5\), но нам нужно доказать, что \(S < 4\).
Значит, нужно быть более точными в оценках.
Давайте перегруппируем немного иначе, чтобы получить более точную оценку.
\[S = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16}\right)\]
Оценим каждую группу более точно:
1. \(1\)
2. \(\frac{1}{2}\)
3. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}\).
Мы знаем, что \(\frac{7}{12} < 1\).
4. \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\)
Каждый член в этой группе меньше или равен \(\frac{1}{5}\).
Значит, \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} < \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\).
Мы знаем, что \(\frac{4}{5} < 1\).
5. \(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\)
Каждый член в этой группе меньше или равен \(\frac{1}{9}\).
Значит, \(\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} < 8 \cdot \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\).
Мы знаем, что \(\frac{8}{9} < 1\).
Теперь сложим эти более точные оценки:
\[S < 1 + \frac{1}{2} + \frac{7}{12} + \frac{4}{5} + \frac{8}{9}\]
Приведем к общему знаменателю или переведем в десятичные дроби для удобства:
\(\frac{1}{2} = 0.5\)
\(\frac{7}{12} \approx 0.583\)
\(\frac{4}{5} = 0.8\)
\(\frac{8}{9} \approx 0.889\)
\[S < 1 + 0.5 + 0.583 + 0.8 + 0.889\]
\[S < 3.772\]
Так как \(3.772 < 4\), то мы доказали, что:
\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4\]
Запишем решение в тетрадь:
Доказательство истинности высказывания:
Нам нужно доказать, что сумма первых 16 членов гармонического ряда меньше 4:
\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4\]
Обозначим данную сумму как \(S\):
\[S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\]
Для доказательства воспользуемся методом группировки членов и оценки каждой группы сверху.
Разделим сумму на следующие группы:
\[S = 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\right)\]
Оценим каждую группу сверху:
1. Первый член: \(1\)
2. Вторая группа: \(\frac{1}{2}\)
3. Третья группа: \(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)\)
Вычислим точное значение этой группы:
\[\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}\]
Мы знаем, что \(\frac{7}{12} < 1\).
4. Четвертая группа: \(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right)\)
В этой группе 4 члена. Каждый член меньше или равен \(\frac{1}{5}\) (первый и наибольший член в группе).
Значит, сумма этой группы меньше, чем \(4 \cdot \frac{1}{5}\):
\[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} < \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\]
Мы знаем, что \(\frac{4}{5} < 1\).
5. Пятая группа: \(\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\right)\)
В этой группе 8 членов. Каждый член меньше или равен \(\frac{1}{9}\) (первый и наибольший член в группе).
Значит, сумма этой группы меньше, чем \(8 \cdot \frac{1}{9}\):
\[\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} < 8 \cdot \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\]
Мы знаем, что \(\frac{8}{9} < 1\).
Теперь сложим все полученные верхние оценки:
\[S < 1 + \frac{1}{2} + \frac{7}{12} + \frac{4}{5} + \frac{8}{9}\]
Переведем дроби в десятичные для удобства сложения:
\[\frac{1}{2} = 0.5\]
\[\frac{7}{12} \approx 0.5833\]
\[\frac{4}{5} = 0.8\]
\[\frac{8}{9} \approx 0.8889\]
Подставим эти значения в неравенство:
\[S < 1 + 0.5 + 0.5833 + 0.8 + 0.8889\]
\[S < 3.7722\]
Так как \(3.7722 < 4\), то мы доказали, что:
\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{16} < 4\]
Вывод: Высказывание истинно.
