Решение задачи 54: Поляризация света через поляризаторы

Хорошо, давайте дорешаем задачу. Задача 54. Естественный свет пропускают через два одинаковых несовершенных поляризатора. Интенсивность прошедшего через эту систему света при параллельных плоскостях поляризаторов (\(I_{||}\)) превышает интенсивность при взаимно перпендикулярных плоскостях (\(I_{\perp}\)) в 9,53 раза. Определить: а) степень поляризации света, прошедшего только через один из поляризаторов; б) степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов. Дано: \[ \eta = \frac{I_{||}}{I_{\perp}} = 9,53 \] Найти: а) \(P_0\) б) \(P\) Решение: Представим естественный свет как сумму двух взаимно перпендикулярных компонентов, с интенсивностью \(I_0\). Предположим, что каждый поляризатор передает долю \(\alpha_1\) света с плоскостью колебаний, параллельной главному направлению поляризатора, и долю \(\alpha_2\) с плоскостью колебаний, перпендикулярной главному направлению поляризатора. Тогда интенсивность света, прошедшего через два поляризатора, равна: 1. Когда их основные направления параллельны: \[ I_{||} = \alpha_1^2 I_0 + \alpha_2^2 I_0 \] 2. Когда они пересекаются (взаимно перпендикулярны): \[ I_{\perp} = \alpha_1 \alpha_2 I_0 + \alpha_2 \alpha_1 I_0 = 2 \alpha_1 \alpha_2 I_0 \] Из условия задачи мы знаем, что \(\eta = \frac{I_{||}}{I_{\perp}}\). Подставим выражения для \(I_{||}\) и \(I_{\perp}\): \[ \eta = \frac{\alpha_1^2 I_0 + \alpha_2^2 I_0}{2 \alpha_1 \alpha_2 I_0} = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2 \alpha_1 \alpha_2} \] Отсюда: \[ \frac{1}{\eta} = \frac{2 \alpha_1 \alpha_2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2} \] Мы можем преобразовать это выражение, чтобы найти отношение \(\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}\). Рассмотрим выражение: \[ \frac{(\alpha_1 - \alpha_2)^2}{(\alpha_1 + \alpha_2)^2} = \frac{\alpha_1^2 - 2 \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_2^2} \] Разделим числитель и знаменатель на \(\alpha_1^2 + \alpha_2^2\): \[ \frac{\frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2} - \frac{2 \alpha_1 \alpha_2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}}{\frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2} + \frac{2 \alpha_1 \alpha_2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}} = \frac{1 - \frac{1}{\eta}}{1 + \frac{1}{\eta}} = \frac{\frac{\eta - 1}{\eta}}{\frac{\eta + 1}{\eta}} = \frac{\eta - 1}{\eta + 1} \] Таким образом: \[ \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2} = \sqrt{\frac{\eta - 1}{\eta + 1}} \] (предполагая, конечно, \(\alpha_1 > \alpha_2\)). а) Степень поляризации, создаваемая любым поляризатором при использовании по отдельности, равна: \[ P_0 = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} \] Для одного поляризатора \(I_{max} = \alpha_1 I_0\) и \(I_{min} = \alpha_2 I_0\). Следовательно: \[ P_0 = \frac{\alpha_1 I_0 - \alpha_2 I_0}{\alpha_1 I_0 + \alpha_2 I_0} = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2} \] Подставим найденное выражение: \[ P_0 = \sqrt{\frac{\eta - 1}{\eta + 1}} \] Подставим значение \(\eta = 9,53\): \[ P_0 = \sqrt{\frac{9,53 - 1}{9,53 + 1}} = \sqrt{\frac{8,53}{10,53}} \] \[ P_0 \approx \sqrt{0,810066} \approx 0,9 \] б) Степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов. В этом случае интенсивность света, прошедшего через два поляризатора, когда их главные направления параллельны, равна \(I_{||} = \alpha_1^2 I_0 + \alpha_2^2 I_0\). Степень поляризации \(P\) определяется как: \[ P = \frac{I_{max}' - I_{min}'}{I_{max}' + I_{min}'} \] Здесь \(I_{max}'\) и \(I_{min}'\) - это максимальная и минимальная интенсивности света, прошедшего через систему из двух параллельных поляризаторов, если после них поставить идеальный анализатор. Однако, в контексте задачи, "степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов" обычно относится к степени поляризации света, который уже прошел через эту систему. Свет, прошедший через два параллельных поляризатора, имеет интенсивность \(I_{||} = (\alpha_1^2 + \alpha_2^2) I_0\). Этот свет является частично поляризованным. Его максимальная интенсивность будет \(\alpha_1^2 I_0\) (компонента, параллельная главному направлению), а минимальная интенсивность будет \(\alpha_2^2 I_0\) (компонента, перпендикулярная главному направлению). Тогда степень поляризации \(P\) для света, прошедшего через два параллельных поляризатора, будет: \[ P = \frac{\alpha_1^2 I_0 - \alpha_2^2 I_0}{\alpha_1^2 I_0 + \alpha_2^2 I_0} = \frac{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2} \] Мы знаем, что \(\frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2 \alpha_1 \alpha_2} = \eta\), то есть \(\alpha_1^2 + \alpha_2^2 = 2 \eta \alpha_1 \alpha_2\). Также мы можем выразить \(\alpha_1^2 - \alpha_2^2\) через \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\). Из \(\frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2} = \sqrt{\frac{\eta - 1}{\eta + 1}}\) мы можем получить \(\frac{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}\). \[ P = \frac{(\alpha_1 - \alpha_2)(\alpha_1 + \alpha_2)}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2} \] Мы знаем, что \(P_0 = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}\). Также мы можем выразить \(\frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}\) через \(\eta\). \[ \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{\alpha_1^2 - \alpha_2^2} = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{(\alpha_1 - \alpha_2)(\alpha_1 + \alpha_2)} \] Давайте вернемся к выражению для \(\eta\): \[ \eta = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2 \alpha_1 \alpha_2} \] Используем \(P_0 = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}\). Возведем в квадрат: \(P_0^2 = \frac{(\alpha_1 - \alpha_2)^2}{(\alpha_1 + \alpha_2)^2} = \frac{\alpha_1^2 - 2 \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_2^2}\). Разделим числитель и знаменатель на \(\alpha_1^2 + \alpha_2^2\): \[ P_0^2 = \frac{1 - \frac{2 \alpha_1 \alpha_2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}}{1 + \frac{2 \alpha_1 \alpha_2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}} = \frac{1 - \frac{1}{\eta}}{1 + \frac{1}{\eta}} = \frac{\eta - 1}{\eta + 1} \] Это подтверждает наше значение для \(P_0\). Теперь для \(P\), степени поляризации света, прошедшего через два параллельных поляризатора: \[ P = \frac{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2} \] Мы можем выразить \(\alpha_1^2\) и \(\alpha_2^2\) через \(\eta\). Из \(\eta = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2 \alpha_1 \alpha_2}\) И из \(P_0 = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}\). Давайте выразим \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) через \(P_0\). Пусть \(\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = k\). Тогда \(P_0 = \frac{k - 1}{k + 1}\). Отсюда \(P_0(k+1) = k-1 \Rightarrow P_0 k + P_0 = k - 1 \Rightarrow k(P_0 - 1) = -1 - P_0 \Rightarrow k = \frac{1 + P_0}{1 - P_0}\). Теперь подставим это в выражение для \(P\): \[ P = \frac{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}{\alpha_1^2 + \alpha_2^2} = \frac{(\frac{\alpha_1}{\alpha_2})^2 - 1}{(\frac{\alpha_1}{\alpha_2})^2 + 1} = \frac{k^2 - 1}{k^2 + 1} \] Подставим \(k = \frac{1 + P_0}{1 - P_0}\): \[ P = \frac{(\frac{1 + P_0}{1 - P_0})^2 - 1}{(\frac{1 + P_0}{1 - P_0})^2 + 1} = \frac{(1 + P_0)^2 - (1 - P_0)^2}{(1 + P_0)^2 + (1 - P_0)^2} \] Раскроем скобки: \[ (1 + P_0)^2 = 1 + 2 P_0 + P_0^2 \] \[ (1 - P_0)^2 = 1 - 2 P_0 + P_0^2 \] Тогда: \[ P = \frac{(1 + 2 P_0 + P_0^2) - (1 - 2 P_0 + P_0^2)}{(1 + 2 P_0 + P_0^2) + (1 - 2 P_0 + P_0^2)} = \frac{4 P_0}{2 + 2 P_0^2} = \frac{2 P_0}{1 + P_0^2} \] Мы уже нашли \(P_0 \approx 0,9\). \[ P = \frac{2 \times 0,9}{1 + (0,9)^2} = \frac{1,8}{1 + 0,81} = \frac{1,8}{1,81} \] \[ P \approx 0,994475 \] Окончательные ответы: а) Степень поляризации света, прошедшего только через один из поляризаторов: \[ P_0 = \sqrt{\frac{\eta - 1}{\eta + 1}} = \sqrt{\frac{9,53 - 1}{9,53 + 1}} = \sqrt{\frac{8,53}{10,53}} \approx 0,9 \] б) Степень поляризации, обуславливаемую системой при параллельных плоскостях поляризаторов: \[ P = \frac{2 P_0}{1 + P_0^2} = \frac{2 \times 0,9}{1 + (0,9)^2} = \frac{1,8}{1 + 0,81} = \frac{1,8}{1,81} \approx 0,994 \] Ответы: а) \(P_0 \approx 0,9\) б) \(P \approx 0,994\)