Решение задачи: Интерференция света на щелях

Хорошо, давайте дорешаем задачу. Задача: Пучок лазерного излучения с \( \lambda = 632,8 \) нм падает нормально на преграду со щелями, расстояние между которыми \( d = 1 \) мм. Экран расположен на расстоянии \( h = 100 \) см. На каком расстоянии от центра интерференционной картины находится третий максимум? Дано: \( \lambda = 632,8 \) нм \( m = 3 \) (максимум) \( d = 1 \) мм \( h = 100 \) см Найти: \( y_3 \) Решение: Световая волна падает на две узкие щели C и B, расположенные на расстоянии \( d \) друг от друга. Интерференционная картина наблюдается на экране Э, расположенном на расстоянии \( h \) параллельно C и B. Начало отсчета выбрано в точке O, симметричной относительно щелей. Интенсивность в любой точке M экрана, лежащей на расстоянии \( y \) от точки O, определяется оптической разностью хода: \[ \Delta = d_2 - d_1 \] Из рисунка видно, что: \[ d_2^2 = h^2 + \left(y + \frac{d}{2}\right)^2 \] \[ d_1^2 = h^2 + \left(y - \frac{d}{2}\right)^2 \] Вычтем из первого уравнения второе: \[ d_2^2 - d_1^2 = \left(h^2 + \left(y + \frac{d}{2}\right)^2\right) - \left(h^2 + \left(y - \frac{d}{2}\right)^2\right) \] \[ d_2^2 - d_1^2 = \left(y + \frac{d}{2}\right)^2 - \left(y - \frac{d}{2}\right)^2 \] Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \[ (d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = \left(\left(y + \frac{d}{2}\right) - \left(y - \frac{d}{2}\right)\right) \left(\left(y + \frac{d}{2}\right) + \left(y - \frac{d}{2}\right)\right) \] \[ (d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = \left(y + \frac{d}{2} - y + \frac{d}{2}\right) \left(y + \frac{d}{2} + y - \frac{d}{2}\right) \] \[ (d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = (d)(2y) \] \[ (d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = 2yd \] Отсюда оптическая разность хода \( \Delta = d_2 - d_1 \): \[ \Delta = \frac{2yd}{d_2 + d_1} \] Поскольку расстояние до экрана \( h \) значительно больше расстояния между щелями \( d \) и расстояния до максимума \( y \) (то есть \( h \gg d \) и \( h \gg y \)), то \( d_1 \approx h \) и \( d_2 \approx h \). Тогда \( d_2 + d_1 \approx 2h \). Подставим это приближение в формулу для \( \Delta \): \[ \Delta = \frac{2yd}{2h} \] \[ \Delta = \frac{yd}{h} \] Условие для максимума интерференции: \[ \Delta = m \lambda \] где \( m \) - порядок максимума (целое число: 0, 1, 2, ...). Приравниваем два выражения для \( \Delta \): \[ \frac{yd}{h} = m \lambda \] Выразим расстояние до максимума \( y \): \[ y = \frac{m \lambda h}{d} \] Теперь подставим числовые значения. Сначала переведем все величины в систему СИ: \( \lambda = 632,8 \) нм \( = 632,8 \times 10^{-9} \) м \( d = 1 \) мм \( = 1 \times 10^{-3} \) м \( h = 100 \) см \( = 1 \) м \( m = 3 \) (для третьего максимума) Подставляем значения в формулу: \[ y_3 = \frac{3 \times (632,8 \times 10^{-9} \text{ м}) \times (1 \text{ м})}{1 \times 10^{-3} \text{ м}} \] \[ y_3 = \frac{3 \times 632,8 \times 10^{-9}}{10^{-3}} \text{ м} \] \[ y_3 = 3 \times 632,8 \times 10^{-9} \times 10^3 \text{ м} \] \[ y_3 = 3 \times 632,8 \times 10^{-6} \text{ м} \] \[ y_3 = 1898,4 \times 10^{-6} \text{ м} \] \[ y_3 = 1,8984 \times 10^{-3} \text{ м} \] Для удобства можно перевести в миллиметры: \[ y_3 = 1,8984 \text{ мм} \] Округлим до более удобного значения, например, до сотых долей миллиметра: \[ y_3 \approx 1,90 \text{ мм} \] Ответ: Третий максимум находится на расстоянии примерно \( 1,90 \) мм от центра интерференционной картины.