Решение задачи линейного программирования графическим методом (2б)

Задание 2 (б). Решение задачи линейного программирования графическим методом. Условие задачи: Найти минимальное значение целевой функции \[ z = 5x_1 - 3x_2 \to min \] при ограничениях: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 \le 10 \\ 3x_1 - x_2 \le 6 \\ 10x_1 + 6x_2 \ge 6 \\ x_1, x_2 \ge 0 \end{cases} \] Решение: 1. Построим область допустимых решений (ОДР). Для этого заменим неравенства на уравнения прямых и найдем точки их пересечения с осями координат. Прямая L1: \( x_1 + 2x_2 = 10 \) При \( x_1 = 0, x_2 = 5 \). Точка (0; 5). При \( x_2 = 0, x_1 = 10 \). Точка (10; 0). Так как знак \( \le \), заштриховываем область ниже прямой (включая начало координат). Прямая L2: \( 3x_1 - x_2 = 6 \) При \( x_1 = 0, x_2 = -6 \). Точка (0; -6). При \( x_2 = 0, x_1 = 2 \). Точка (2; 0). Так как знак \( \le \), заштриховываем область слева от прямой. Прямая L3: \( 10x_1 + 6x_2 = 6 \) (или \( 5x_1 + 3x_2 = 3 \)) При \( x_1 = 0, x_2 = 1 \). Точка (0; 1). При \( x_2 = 0, x_1 = 0.6 \). Точка (0.6; 0). Так как знак \( \ge \), заштриховываем область выше прямой. Условия \( x_1, x_2 \ge 0 \) ограничивают область первой четвертью. 2. Найдем вершины полученного многоугольника ОДР: А — пересечение L1 и L2: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 10 \\ 3x_1 - x_2 = 6 \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 2: \( 6x_1 - 2x_2 = 12 \). Сложим: \( 7x_1 = 22 \Rightarrow x_1 = \frac{22}{7} \approx 3.14 \). Тогда \( x_2 = 3 \cdot \frac{22}{7} - 6 = \frac{66-42}{7} = \frac{24}{7} \approx 3.43 \). Точка А \( (\frac{22}{7}; \frac{24}{7}) \). B — пересечение L2 и оси \( Ox_1 \): (2; 0). C — пересечение L3 и оси \( Ox_1 \): (0.6; 0). D — пересечение L3 и оси \( Ox_2 \): (0; 1). E — пересечение L1 и оси \( Ox_2 \): (0; 5). 3. Построим вектор-градиент целевой функции \( \vec{c} = (5; -3) \). Так как нам нужно найти минимум, мы должны перемещать линию уровня \( 5x_1 - 3x_2 = const \) в направлении, противоположном вектору-градиенту, до последней точки касания с ОДР. 4. Вычислим значения целевой функции в вершинах: \( z(A) = 5 \cdot \frac{22}{7} - 3 \cdot \frac{24}{7} = \frac{110 - 72}{7} = \frac{38}{7} \approx 5.43 \) \( z(B) = 5 \cdot 2 - 3 \cdot 0 = 10 \) \( z(C) = 5 \cdot 0.6 - 3 \cdot 0 = 3 \) \( z(D) = 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3 \) \( z(E) = 5 \cdot 0 - 3 \cdot 5 = -15 \) 5. Сравнивая значения, видим, что минимальное значение достигается в точке E. Ответ: Оптимальное решение достигается в точке \( x_1 = 0, x_2 = 5 \). Минимальное значение целевой функции \( z_{min} = -15 \).