Решение задачи: Экономико-математическая модель и графический метод

Задание 1. Построение экономико-математической модели и решение графическим методом. 1. Построение экономико-математической модели. Пусть \( x_1 \) — количество единиц продукции №1, а \( x_2 \) — количество единиц продукции №2. Целью задачи является максимизация общей стоимости (прибыли) от реализации продукции. Сформулируем целевую функцию: \[ z = 9x_1 + 10x_2 \to max \] Ограничения по ресурсам: Для производства продукции используются три типа сырья. Суммарные затраты каждого вида сырья не должны превышать его запаса. По сырью 1: \( 18x_1 + 15x_2 \le 360 \) По сырью 2: \( 6x_1 + 4x_2 \le 192 \) По сырью 3: \( 5x_1 + 3x_2 \le 180 \) Также количество продукции не может быть отрицательным: \[ x_1 \ge 0, x_2 \ge 0 \] Итоговая модель: \[ \begin{cases} 18x_1 + 15x_2 \le 360 \\ 6x_1 + 4x_2 \le 192 \\ 5x_1 + 3x_2 \le 180 \\ x_1, x_2 \ge 0 \end{cases} \] 2. Графическое решение. Построим прямые, ограничивающие область допустимых решений (ОДР): L1: \( 18x_1 + 15x_2 = 360 \). Разделим на 3: \( 6x_1 + 5x_2 = 120 \). При \( x_1 = 0, x_2 = 24 \). Точка (0; 24). При \( x_2 = 0, x_1 = 20 \). Точка (20; 0). L2: \( 6x_1 + 4x_2 = 192 \). Разделим на 2: \( 3x_1 + 2x_2 = 96 \). При \( x_1 = 0, x_2 = 48 \). Точка (0; 48). При \( x_2 = 0, x_1 = 32 \). Точка (32; 0). L3: \( 5x_1 + 3x_2 = 180 \). При \( x_1 = 0, x_2 = 60 \). Точка (0; 60). При \( x_2 = 0, x_1 = 36 \). Точка (36; 0). Анализ ОДР: Заметим, что прямые L2 и L3 проходят значительно дальше от начала координат, чем L1. Проверим, какая прямая является определяющей. Для точки (20; 0), лежащей на L1: L2: \( 6 \cdot 20 + 4 \cdot 0 = 120 \le 192 \) (верно) L3: \( 5 \cdot 20 + 3 \cdot 0 = 100 \le 180 \) (верно) Для точки (0; 24), лежащей на L1: L2: \( 6 \cdot 0 + 4 \cdot 24 = 96 \le 192 \) (верно) L3: \( 5 \cdot 0 + 3 \cdot 24 = 72 \le 180 \) (верно) Это означает, что ограничения по сырью 2 и 3 являются избыточными, так как запас сырья 1 заканчивается гораздо раньше. Область допустимых решений ограничена треугольником с вершинами (0; 0), (20; 0) и (0; 24). 3. Поиск оптимального решения. Целевая функция \( z = 9x_1 + 10x_2 \). Проверим вершины ОДР: 1) Точка (0; 0): \( z = 9 \cdot 0 + 10 \cdot 0 = 0 \) 2) Точка (20; 0): \( z = 9 \cdot 20 + 10 \cdot 0 = 180 \) 3) Точка (0; 24): \( z = 9 \cdot 0 + 10 \cdot 24 = 240 \) Максимальное значение достигается в точке (0; 24). Ответ: Для получения максимальной прибыли в 240 единиц необходимо производить только продукцию №2 в количестве 24 единиц. Продукцию №1 производить не следует.