Решение задачи: Индуктивность в колебательном контуре

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь: Решение задачи: Дано: Электроёмкость конденсатора \(C = 25 \text{ нФ} = 25 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}\) Минимальная частота \(f_{min} = 120 \text{ МГц} = 120 \cdot 10^6 \text{ Гц}\) Максимальная частота \(f_{max} = 600 \text{ МГц} = 600 \cdot 10^6 \text{ Гц}\) Найти: Диапазон изменения индуктивности \(L_{min}\) и \(L_{max}\). Решение: 1. В колебательном контуре частота колебаний \(f\) связана с индуктивностью \(L\) и электроёмкостью \(C\) формулой Томсона: \[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\] 2. Из этой формулы выразим индуктивность \(L\). Для этого сначала возведём обе части уравнения в квадрат: \[f^2 = \frac{1}{(2\pi\sqrt{LC})^2}\] \[f^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC}\] 3. Теперь выразим \(L\): \[L = \frac{1}{4\pi^2 f^2 C}\] 4. Мы видим, что индуктивность \(L\) обратно пропорциональна квадрату частоты \(f^2\). Это значит, что: * Минимальной частоте \(f_{min}\) будет соответствовать максимальная индуктивность \(L_{max}\). * Максимальной частоте \(f_{max}\) будет соответствовать минимальная индуктивность \(L_{min}\). 5. Рассчитаем максимальную индуктивность \(L_{max}\) для минимальной частоты \(f_{min}\): \[L_{max} = \frac{1}{4\pi^2 f_{min}^2 C}\] \[L_{max} = \frac{1}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot (120 \cdot 10^6 \text{ Гц})^2 \cdot (25 \cdot 10^{-9} \text{ Ф})}\] \[L_{max} = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 14400 \cdot 10^{12} \cdot 25 \cdot 10^{-9}}\] \[L_{max} = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 14400 \cdot 25 \cdot 10^{12-9}}\] \[L_{max} = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 14400 \cdot 25 \cdot 10^3}\] \[L_{max} = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 360000 \cdot 10^3}\] \[L_{max} = \frac{1}{14197824000}\] \[L_{max} \approx 7.04 \cdot 10^{-11} \text{ Гн}\] \[L_{max} \approx 70.4 \text{ пГн}\] 6. Рассчитаем минимальную индуктивность \(L_{min}\) для максимальной частоты \(f_{max}\): \[L_{min} = \frac{1}{4\pi^2 f_{max}^2 C}\] \[L_{min} = \frac{1}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot (600 \cdot 10^6 \text{ Гц})^2 \cdot (25 \cdot 10^{-9} \text{ Ф})}\] \[L_{min} = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 360000 \cdot 10^{12} \cdot 25 \cdot 10^{-9}}\] \[L_{min} = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 360000 \cdot 25 \cdot 10^3}\] \[L_{min} = \frac{1}{4 \cdot 9.8596 \cdot 9000000 \cdot 10^3}\] \[L_{min} = \frac{1}{354945600000}\] \[L_{min} \approx 2.82 \cdot 10^{-12} \text{ Гн}\] \[L_{min} \approx 2.82 \text{ пГн}\] Ответ: Диапазон изменения индуктивности контура передатчика составляет от \(2.82 \text{ пГн}\) до \(70.4 \text{ пГн}\).