Решение задачи на признак Лейбница

Задание: Среди приведенных рядов указать те, для которых выполнен признак Лейбница. Признак Лейбница применяется к знакочередующимся рядам вида \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n \text{ или } \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n \] где \( a_n > 0 \). Для сходимости по этому признаку должны выполняться два условия: 1) Последовательность положительных членов монотонно убывает: \( a_n \ge a_{n+1} \) для всех \( n \). 2) Предел общего члена равен нулю: \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Рассмотрим каждый ряд по отдельности: 1) Ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)} \] Здесь \( a_n = \frac{1}{\ln(n+1)} \). Проверим условия: - Так как логарифм — возрастающая функция, то \( \ln(n+2) > \ln(n+1) \), следовательно, \( \frac{1}{\ln(n+2)} < \frac{1}{\ln(n+1)} \). Условие монотонного убывания выполнено. - Находим предел: \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 \). Вывод: Признак Лейбница выполнен. 2) Ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^2} \] Здесь \( a_n = \frac{1}{n^2} \). Проверим условия: - Очевидно, что \( \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2} \). Условие монотонного убывания выполнено. - Находим предел: \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \). Вывод: Признак Лейбница выполнен. 3) Ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{5n} \] Здесь \( a_n = \frac{n+2}{5n} \). Проверим второе условие (предел): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{5n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{5} = \frac{1}{5} \neq 0 \] Так как предел общего члена не равен нулю, необходимое условие сходимости (и, соответственно, признак Лейбница) не выполняется. Ряд расходится. Ответ: Признак Лейбница выполнен для первого и второго рядов: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)} \] \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^2} \]